Kvaredra simetrio

T aŭ 332 aŭ 23, de ordo 12 estas nememspegulsimetria aŭ turna kvaredra simetrio. Estas tri perpendikularaj 2-obla turnaj aksoj, simile al nememspegulsimetria duedra simetrio D₂ aŭ 222, kun aldone kvar 3-oblaj aksoj, centrita inter la tri perpendikularaj direktoj. Ĉi tiu grupo estas izomorfia al A₄, la alterna grupo sur 4 eroj; fakte ĝi estas la grupo de paraj permutoj de la kvar 3-oblaj aksoj: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

La konjugecaj klasoj de T estas:

• idento
• 4 × turno je 120° laŭhorloĝnadla (vidata de vertico): (234), (143), (412), (321)
• 4 × turno je 120° mallaŭhorloĝnadla
• 3 × turno je 180°

La turnoj je 180°, kaj ankaŭ la idento, formas normalan subgrupon de speco Dih₂ kun kvocienta grupo de speco Z₃. La tri eroj de la lasta estas la idento, "laŭhorloĝnadla turnado", kaj "kontraŭ-laŭhorloĝnadla turnado", respektivaj al permutoj de la tri perpendikularaj 2-obla aksoj, konservantaj orientiĝon.

A₄ estas la plej malgranda grupo demonstracianta ke la aserto de la teoremo de Lagrange ne estas vera ĝenerale: se estas donita finia grupo G kaj dividanto d de |G|, tie ne nepre ekzistas subgrupo de G kun ordo d: la grupo G = A₄ ne havas subgrupon de ordo 6. Pro la nememspegulsimetrieco la subgrupo povus esti nur C₆ aŭ D₃, sed neniu el ili taŭgas.

T_d aŭ *332 aŭ ${\displaystyle {\bar {4}}3m}$ , de ordo 24 estas memspegulsimetria aŭ plena kvaredra simetrio. Ĉi tiu grupo havas la samajn turnajn aksojn kiel T, sed kun ses spegulaj ebenoj, ĉiu el ili tra du 3-oblaj aksoj. La 2-oblaj aksoj estas ĉi tie S₄ (${\displaystyle {\bar {4}}}$ ) aksoj. T_d kaj O estas izomorfiaj kiel abstraktaj grupoj: ili ambaŭ esti konforma laŭ S₄, la simetria grupo je 4 objektoj. T_d estas la unio de T kaj la aro ricevita per komponado de ĉiu ero de O \ T kun inversigo.

La konjugecaj klasoj de T_d estas:

• idento
• 8 × turno je 120°
• 3 × turno je 180°
• 6 × reflekto en ebeno tra du turnaj aksoj
• 6 × turnoreflekto je 90°

T_h aŭ 3*2 aŭ ${\displaystyle 2/m\ {\bar {3}}}$ , de ordo 24 - piritopluredra simetrio. Ĉi tiu grupo havas la sama turnajn aksojn kiel T, kun tru spegulaj ebenoj ĉiu tra du perpendikularaj direktoj. La 3-oblaj aksoj estas ĉi tie S₆ (${\displaystyle {\bar {3}}}$ ) aksoj, kaj estas inversiga simetrio. T_h estas izomorfia al T × Z₂: ĉiu ero de T_h estas ĉu ero de T, aŭ tiu kombinita kun inversigo. Krom ĉi tiuj du normalaj subgrupoj, estas ankaŭ normala subgrupo D_2h (tiu de kvadrata prismo), de speco Dih₂ × Z₂ = Z₂ × Z₂ × Z₂. Ĝi estas la direkta produto de la normala subgrupo de T (vidi pli supre) kun C_i. La kvocienta grupo estas la sama kiel pli supre: de speco Z₃. La tri eroj de la lasta estas la idento, "laŭhorloĝnadla turno", kaj "mallaŭhorloĝnadla turno", respektivaj al permutoj de la tri perpendikularaj 2-obla jaksoj, konservantaj orientiĝon.

Ĝi estas la simetrio de kubo kun streko sur ĉiu edro dividanta la edron en du egalan ortangulojn, tiel ke la strekoj de najbaraj edroj ne kuniĝas je la lateroj. La simetrioj esti konforma laŭ la paraj permutaj de korpaj diagonaloj kaj la samaj kombinitaj kun inversigo. Ĝi estas ankaŭ la simetrio de piritopluredro, kiu estas simila al la kubo priskribita supre, kun ĉiu ortangulo anstataŭigita per kvinlatero kun unu simetria akso kaj 4 egalaj lateroj kaj 1 malsama latero (la tiu respektiva al la streko dividanta la kuban edron); do estas, la kuba edra estas malformigita eksteren je la dividanta linio kaj igita pli mallarĝan tie. Ĝi estas subgrupo de la plena dudekedra simetria grupo (kiel izometria grupo, ne kiel abstrakta grupo), kun 4 el la 10 3-oblaj aksoj.

La konjugecaj klasoj de T_h inkluzivi tiujn de T, kun la du klasoj de 4 kombinitaj, kaj tiujn kun inversigo:

• idento
• 8 × turno je 120°
• 3 × turno je 180°
• inversigo
• 8 × turnoreflekto je 60°
• 3 × reflekto en ebeno

  La dudekedro kun uniforma kolorigo kiel riproĉa kvaredro havas turnan kvaredran simetrion.

• Duedra simetrio en tri dimensioj
• Okedra simetrio
• Dudekedra simetrio
• Triangulo de Schwarz