Aro de Vitali

Certaj aroj havas senduban "longon" aŭ "mason". Ekzemple, la intervalo [0, 1] estas opiniita al havi longon 1; pli ĝenerale, intervaloj [a, b] kaj (a, b), estas opiniitaj al havi longon b-a. Se oni pensas pri ĉi tiaj intervaloj kiel pri metalaj vergoj kun unuforma denseco, ili same havas klare difinitajn masojn. La aro [0, 1] ∪ [2, 3] estas kunmetitaj du intervaloj de longo 1, tiel oni prenas ĝian suman longon por esti 2. En esprimo de maso, oni havas du vergojn de maso 1, tiel ke la entuta maso estas 2.

La natura demando ekzistas de ĉi tie: se E estas arbitra subaro de la reela linio, ĉu ĝi havas mason aŭ sumlongon? Ekzemple, oni eble demandos kio estas la maso de la aro de ĉiuj racionalaj nombroj, se estas donite ke la maso de la intervalo [0, 1] estas 1. La racionalaj nombroj estas densaj en la reelaj, tiel ĉiu nenegativa valoro povas ŝajniĝi kiel akceptebla.

Tamen la plej proksimkuŝanta ĝeneraligo de maso estas sigmo-adicieco, kiu estas unu el propraĵoj de la lebega mezuro. Ĝi asignas valoron b-a al ĉiu intervalo [a, b], sed asignas valoron 0 al la aro de ĉiuj racionalaj nombroj ĉar ĝi estas kalkulebla aro. Ĉiu aro kiu havas klare difinitan lebegan mezuron estas nomata kiel "mezurebla", sed la konstruo de la lebega mezuro (ekzemple per la etendaĵa teoremo de Carathéodory) ne donas evidentecon ĉu ekzistas ne-mezureblaj aroj. La respondo al la demando uzas la aksiomon de elekto.

Aro de Vitali V estas subaro de [0, 1] kiu, por ĉiu reela nombro r, enhavas ekzakte unu nombron v tian ke v-r estas racionala. Ĉi tio implicas tion ke V estas nekalkulebla, kaj ankaŭ ke v-u estas neracionala por ĉiuj malsamaj u kaj v en V.

Ĉi tiaj aroj povas esti montrataj al ekzisti konsiderante la aksiomon de elekto. Konstruante aron de Vitali V, pripensu la adician kvocientogrupon R / Q . Ĉiu elemento el ĉi tiu grupo estas ŝovita kopio de la racionalaj nombroj: aro de la formo Q +r por iu r en R. Tiel, la elementoj de ĉi tiu grupo estas subgrupoj de R kaj sekcio R. Ekzistas nekalkuleble multaj elementoj. Ĉar ĉiu elemento intersekcas [0, 1], oni povas uzi la aksiomon de elekto por elekti aron V, estantan subaron de [0, 1], enhavantan ekzakte unu reprezentanton de ĉiu elemento de R / Q .

Aro de Vitali estas ne-mezurebla. Por montri ĉi tion, oni iru de kontraŭdiro kaj supozu ke V estas mezurebla. Estu q₁, q₂, ... listo de ĉiuj racionalaj nombroj en [-1, 1]. La racionalaj nombroj estas kalkuleblaj, tiel ĉi tiu listo povas esti konstruita. De la konstruo de V, la ŝovitaj aroj ${\displaystyle V_{k}=V+q_{k}=\{v+q_{k}:v\in V\}}$  , k = 1, 2, ... estas popare ne intersekcantaj, kaj ${\displaystyle [0,1]\subseteq \biguplus _{k}V_{k}\subseteq [-1,2]}$ . Por pruvi tion ke ${\displaystyle [0,1]\subseteq \biguplus _{k}V_{k}}$  konsideru ajnan reelan nombron r en [0, 1] kaj estu v la reprezentanto en V por la ekvivalentoklaso [r]; tiam r-v=q por iu racionala nombro q en [-1, 1].

Apliku la lebegan mezuron por tiuj subarecaj rilatoj uzante sigmo-adiciecon:

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V_{k})\leq 3}$ 

kie λ(A) estas la lebega mezuro de la aro A.

Ĉar la lebega mezuro estas mova invarianto, λ(V_k)=λ(V) por ĉiu k kaj

${\displaystyle 1\leq \sum _{k=1}^{\infty }\lambda (V)\leq 3}$ 

Sed ĉi tio estas malebla. Sumo de senlime multaj kopioj de la konstanto λ(V) estas aŭ nulo aŭ malfinio, laŭ tio ĉu la konstanto estas nulo aŭ pozitiva. En neniu okazo la sumo estas en [1, 3]. Tiel V ne povas esti mezurebla, kio estas, la lebega mezuro ne povas difinita kiel ajna valoro por λ(V).

• Ne-mezurebla aro
• Paradokso de Banach-Tarski

• Aro de Vitali ĉe Financo-vikio