Convergenza

Data una funzione continua ${\displaystyle f}$ , si dice che ${\displaystyle f(x)}$  converge (o tende) al limite finito ${\displaystyle l}$  per ${\displaystyle x}$  che tende ad ${\displaystyle x_{0}}$  se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un ${\displaystyle \delta (\varepsilon )>0}$  tale che per ogni ${\displaystyle x}$  che soddisfa ${\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta (\varepsilon )}$  si ha che ${\displaystyle |f(x)-l|<\varepsilon }$ . Ovvero:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l.}$ 

Analogamente, si dice che ${\displaystyle f(x)}$  converge al limite finito ${\displaystyle l}$  per ${\displaystyle x}$  che tende a infinito se per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un ${\displaystyle K(\varepsilon )>0}$  tale che per ogni ${\displaystyle x}$  soddisfacente la condizione ${\displaystyle |x|>K(\varepsilon )}$  si ha che ${\displaystyle |f(x)-l|<\varepsilon }$ . Ovvero:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=l.}$ 

La convergenza di una successione numerica ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  di numeri reali si verifica quando per ${\displaystyle n\to \infty }$ , a partire da un certo indice in poi tutti i termini della successione si trovino nell'intorno di un punto, detto limite della successione.

Matematicamente questo si esprime dicendo che una successione ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  converge al numero a per ${\displaystyle n\to \infty }$ , e si scrive ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$ , se ${\displaystyle \forall \varepsilon >0}$  esiste un indice naturale ${\displaystyle N(\varepsilon )}$ , in generale dipendente da ${\displaystyle \varepsilon }$ , tale che la ${\displaystyle \|a_{n}-a\|<\varepsilon }$  per ogni ${\displaystyle n>N(\varepsilon )}$ .

Questo garantisce che tutti i termini della successione, caratterizzati da ${\displaystyle n>N(\varepsilon )}$ , siano contenuti nell'intorno ${\displaystyle a-\varepsilon <a_{n}<a+\varepsilon }$ . Una successione convergente è necessariamente limitata.

Si consideri una successione di elementi ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ . Si definisce serie associata ad ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  la somma:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots }$ .

Per ogni indice ${\displaystyle k}$  della successione, si definisce serie delle somme parziali ${\displaystyle \{S_{k}\}}$  associata a ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  la somma dei termini della successione ${\displaystyle \{a_{n}\}}$  da ${\displaystyle a_{0}}$  a ${\displaystyle a_{k}}$ :

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}}$ 

Si dice che la serie ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$  è convergente al limite ${\displaystyle L}$  se la relativa successione delle somme parziali ${\displaystyle S_{k}}$  converge a ${\displaystyle L}$ . Ovvero, si verifica che:

${\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ 

se e solo se:

${\displaystyle L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}}$ 

Il limite sopra enunciato si dice somma della serie, ed esprime il carattere della serie.

Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni ${\displaystyle f(x)}$ . Data una successione di numeri reali ${\displaystyle \{x_{n}\}}$  che converge a un certo limite ${\displaystyle \xi }$  per ${\displaystyle n\to \infty }$ , si ha:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\lim _{x\to \xi }f(x)=\eta }$ 

In modo equivalente, per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$  esiste un intorno ${\displaystyle \delta (\varepsilon )>0}$ , in generale dipendente da ${\displaystyle \varepsilon }$ , tale che:

${\displaystyle \|f(x)-\eta \|<\varepsilon }$ 

qualora si verifichi:

${\displaystyle \|x-\xi \|<\delta }$ 

Questo garantisce che, come i termini della successione sono contenuti nell'intorno di ${\displaystyle x}$ , allo stesso modo tutti i valori della funzione sono contenuti nell'intorno:

${\displaystyle \eta -\varepsilon <f(x)<\eta +\varepsilon }$ 

Ogni funzione convergente è quindi necessariamente limitata, e questo implica anche il concetto di continuità di una funzione.

Si supponga di avere una funzione ${\displaystyle f(x)}$  tale che ${\displaystyle f(\alpha )=0}$  con α appartenente a un certo intervallo ${\displaystyle J}$ . Si può porre:

${\displaystyle x=x-g(x)f(x)=\phi (x)\qquad g(x)\neq 0\quad \forall x\in J}$ 

Si ha dunque:

${\displaystyle \phi (\alpha )=\alpha }$ 

Se esiste ${\displaystyle \delta >\ 0}$  tale che:

${\displaystyle [\alpha -\delta ,\alpha +\delta ]=J\ }$ 

e se esiste ${\displaystyle k\in (0,1)}$  tale che:

${\displaystyle \forall x\in J,|\phi '(x)|\leq k}$ 

allora si ha:

• Se ${\displaystyle x_{0}\in J}$  allora:

${\displaystyle x_{i}=\phi (x_{i-1})\quad i=1,2,3,\dots }$ 

• ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=\alpha }$ 
• ${\displaystyle \alpha }$  è l'unica radice in ${\displaystyle J}$ 

Premesso che:

${\displaystyle x_{0}\in J\qquad |x_{0}-\alpha |\leq \delta \qquad \xi \in J}$ 

si ha:

${\displaystyle |\alpha |\leq |x_{0}-\alpha |}$ 

Oltre ad avere:

${\displaystyle x_{1}\in (x_{0},\alpha )}$ 

si verifica che:

${\displaystyle x_{i}\in (x_{i-1},\alpha )\quad i\in \mathbb {N} }$ 

Si ottiene:

${\displaystyle |x_{i}-\alpha |=|\phi (x_{i-1})-\phi (\alpha )|=|\phi '(\xi )(x_{i-1}-\alpha )|\leq k|x_{0}-\alpha |\leq k^{2}|x_{i-2}-\alpha |\leq ....\leq k^{i}|x_{0}-\alpha |}$ 

Poiché ${\displaystyle k^{i}}$  tende a zero quando i tende a infinito, la successione converge.

Si ponga per assurdo che nell'intervallo vi sia β, radice della funzione diversa da α. Si ha:

${\displaystyle |\beta -\alpha |=|\phi (\beta )-\phi (\alpha )|=|\phi (\xi )(\beta -\alpha )|\leq k|\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |}$ 

Il fatto che:

${\displaystyle |\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |}$ 

è assurdo, e quindi α è l'unica radice dell'intervallo.

Per le successioni ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n}}$  vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

• La convergenza puntuale:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ 

• La convergenza uniforme:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}$ 

Per le serie di funzioni ${\displaystyle \sum f_{n}(x)}$  vi sono le seguenti tipologie di convergenza:

• La convergenza puntuale si verifica se la serie numerica ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x_{0})}$  converge per ogni ${\displaystyle x_{0}}$ .
• La convergenza uniforme si verifica se la successione delle somme parziali converge uniformemente.
• La convergenza totale si verifica se esiste una serie numerica ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }M_{n}}$  convergente tale che:

${\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}\ }$ 

per ogni ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle n}$ .

Data una successione di variabili casuali ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n}}$ , vi sono più tipi di convergenza:

• La convergenza in distribuzione:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$ 

dove ${\displaystyle F_{n}}$  e ${\displaystyle F}$  sono le funzioni di ripartizione delle ${\displaystyle X_{n}}$  e del limite ${\displaystyle X}$  rispettivamente.

• La convergenza in probabilità:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-X|<\varepsilon )=1}$ 

• La convergenza quasi certa:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}=X}$ 

• La convergenza in media r-esima:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }E|X_{n}-X|^{r}=0\qquad E|X_{n}|^{r}<\infty \quad \forall n}$ 

• Infinito (matematica)
• Limite (matematica)
• Successione (matematica)
• Serie
• continuità
• Integrale
• Teorema della convergenza monotona
• Teorema della convergenza dominata

• (EN) convergence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.