Halfweertstiet

De Halfweertstiet (as Formelteken t_½) is de Tietduer, de en exponentiellen Vörgang bruukt, bit en mit de Tiet afnehmen Weert op de Hälft rünner gahn is. Bi en Vörgang mit exponentiell Wassdom warrt vun de Verdubbeltiet snackt.

En exponentiell Vörgang liggt vör, wenn de Ännern mit de Tiet proportschonal is to de Mengde sülvst. Bekannte Vörgäng vun disse Oort sünd t. B. de Mengdenafnahm bi radioaktiv Nukliden oder de Mengdentonahm bi bioloogsch Wassdomsvörgäng.

En Mengde, vun de na de Halfweertstiet blots noch de Hälft överbleven is, halbeert sik in de nächsten Halfweertstiet nochmol wedder. Dormit blifft denn blots noch ¹/₂ · ¹/₂ = ¹/₄ vun de Anfangsmengde na. Vergeiht noch en wietere Halfweertstiet is blots noch ¹/₈ över, denn ¹/₁₆, ¹/₃₂, ¹/₆₄ un so wieter. Man, dat gellt blots as statistischen Middelweert, also wenn to’n Bispeel de radioaktive Proov, de bekeken warrt, ut en grote Tall vun Atomen besteiht. För en enkelten Atomkarn kann aver nich vörutseggt warrn, wanneer de verfallt - een kann blots en Wohrschienlichkeit angeven för en Ümwanneln in en vörgeven Tiet (Verfallswohrschienlichkeit oder Verfallskonstante λ). Dorbi is de Wohrschienlichkeit för en Verfall binnen de eersten Halfweertstiet 50 %, binnen twee Halfweertstieten 75 %, binnen dree Halfweertstieten 87,5 % usw.

De Wohrschienlichkeit för en radioaktiven Verfall kann mathemaatsch as Formel utdrückt warrn. Annahmen, dor is en radioaktiven Stoff mit N₀ Atomkarns un de Aktivität A. För de Tall vun Atomkarns dN de in de Tiet dt verfallen sünd, gellt denn:

${\displaystyle A=-{\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}\qquad {\text{mit}}\qquad A=\lambda \cdot N}$

${\displaystyle -\lambda \cdot N={\frac {\mathrm {d} N}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle -\lambda \cdot \mathrm {d} t={\frac {1}{N}}\cdot \mathrm {d} N}$

${\displaystyle \int _{0}^{t}-\lambda \cdot \mathrm {d} t'=\int _{N_{0}}^{N}{\frac {1}{N'}}\cdot \mathrm {d} N'}$

${\displaystyle -\lambda t=\ln \left({\frac {N}{N_{0}}}\right)}$

${\displaystyle e^{-\lambda t}={\frac {N}{N_{0}}}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot e^{-\lambda t}}$

Na dit Verfallsgesett sünd also na de Tiet t vun de Utgangskarns N₀ noch N(t) över.

Wo gau de Verfall aflöpt, warrt dör de Verfallskonstante λ (Lambda) fastleggt. Dat is de Kehrweert vun de middleren Levensduer vun’n Karn τ = 1/λ, also de Tiet, na denn de Tall vun Atomen üm den Fakter e lütter worrn is. τ ünnerscheedt sik vun de Halftweertstiet t_½ blots üm den konstanten Fakter ln(2): t_½ = τ · ln(2) ≈ 0,693 · τ.

De radioaktive Verfallsproportschoon, de ok as Aktivität betekent warrt, is de Middelweert vun de Tall vun Verfäll in en geven Tietafsnitt. De wohrhaftige Tall vun Verfäll in disse fasten Tieteenheit folgt de Poisson-Verdelen, de sik bi grode middlere Tall dör en Gauss-Verdelen neeger kamen lett.

Allgemeen gellt för de Tiet ${\displaystyle t_{\frac {1}{n}}}$, na de de Utgangsmengde ${\displaystyle N_{0}}$ op dat 1/n-facke (för de Halfweertstiet gellt n=2) affallen is:

${\displaystyle N(t_{\frac {1}{n}})={\frac {N_{0}}{n}}=N_{0}\cdot e^{-\lambda t_{\frac {1}{n}}}}$

Dorna warrt op beid Sieten dör ${\displaystyle N_{0}}$ deelt un de Logarithmus billt.

${\displaystyle \ln \left({\frac {1}{n}}\right)=-\lambda \cdot t_{\frac {1}{n}}}$

Ünner de Acht vun de Logarithmusgesetten folgt dorut:

${\displaystyle t_{\frac {1}{n}}={\frac {\ln \left(n\right)}{\lambda }}}$

För de Halfweertstiet gellt in’n sünneren Fall n=2:

${\displaystyle t_{\frac {1}{2}}={\frac {\ln \left(2\right)}{\lambda }}}$

Dorut gellt för dat Verfallsgesett:

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot e^{-\lambda \cdot t}\qquad {\text{mit}}\qquad \lambda ={\frac {\ln \left(2\right)}{t_{1/2}}}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot e^{-{\frac {\ln \left(2\right)}{t_{1/2}}}\cdot t}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot e^{-\ln 2\cdot {\frac {t}{t_{1/2}}}}\qquad {\text{mit}}\qquad e^{-\ln 2}=e^{\ln {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}}$ (Exponentialgesetten)

${\displaystyle N(t)=N_{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {t}{t_{1/2}}}}$

Dorut kann een nu seen, dat na de Halfweertstiet jüst de Hälft vun de anfänglichen Karms verfalln sünd.

In de Karnphysik steiht de Halfweertstiet för de Tietduer, in de en Mengde vun en sünner’t radioaktiv Nuklid op de Hälft torüchgahn is, sikalso in annere Atomen ümwannelt hett. Jeed Nuklid hett sien egen Halfweertstiet as en Konstante. De Tosamenhang vun Mengde un Tiet is över dat Verfallsgesett fastleggt, as dat baven herleidt is.

Halfweetstieten för en poor Isotopen
Element	Formelzeichen	Halbwertszeit
Tellur	128Te	ca. 7·1024 Johr
Wismut	209Bi	ca. 1,9·1019 Johr
Thorium	232Th	14,05 Mrd. Johr
Uran	238U	4,468 Mrd. Johr
Uran	235U	704 Mio. Johr
Plutonium	239Pu	24.110 Johr
Kohlenstoff	14C	5.730 Johr
Radium	226Ra	1.602 Johr
Plutonium	238Pu	87,74 Johr
Cäsium	137Cs	30,2 Johr[1]
Tritium	3H	12,36 Johr
Kobalt	60Co	5,3 Johr
Swevel	35S	87,5 Daag
Radon	222Rn	3,8 Daag
Francium	223Fr	22 Minuuten
Thorium	223Th	0,6 Sekunnen
Polonium	212Po	0,3 µs
Beryllium	8Be	9 · 10-17 s[2]

Rein na de Mathematik is en radioaktiven Stoff also nie vullstännig weg, man physikaalsch is mit dat Ümwanneln vun dat letzte Atom en Grenz sett un de Stoff is verswunnen. Faken warrt to’n Afschätzen, wanneer en radioaktive Strahlen keen Bedüden mehr hett för den Minsch oder de Ümwelt, de teihnfacke Halfweertstiet nahmen. Dat heet, dat de Mengde op dat 2^-10-facke (= ¹/₁₀₂₄) rünner gahn is.

Bi de Opnahm vun radioaktive Stoffen in’n Lief spellt aver nich alleen blots de Halfweertstiet in’n physikaalschen Sinn en Rull, man ok dat Wedderutscheden vun den Stoff dör den bioloogschen Stoffwessel. Ok de kann in enkelte Fäll na en Exponentialgesett aflopen un dormit dör en Halfweertstiet beschreven warrn. Man mutt in den Fall tüschen de physikaalschen un de bioloogschen Halfweertstiet ünnerscheden.

Hööftartikel: Radiokarbonmethood

Dat radioaktive Kohlenstoffisotop ¹⁴C kummt in uns Atmosphäär in en faste Proportschoon to dat bestännige Isotop ¹²C in’t Kohlenstoffdioxid vör. In de glieke Proportschoon kummt dat Kohlenstoffisotop ok in orgaansch Materie vör, wieldat Kohlenstoff bi de Photosynthess in de Biomasse vun de Planten un över de Nehrmiddelkeed ok in’n Lief vun all Leevwesen inboot warrt. Wenn nu en Organismus dood blifft, warrt keen nee ¹⁴C mehr opnahmen, un disse Andeel in’n Lief warrt nu över den radioaktiven Verfall exponentiell weniger mit en Halfweertstiet vun 5730 Johren. Över de Radiokarbonmethood oder ok C-14-Methood kann de restliche Andeel vun dat radioaktive Kohlenstoffisotop bestimmt un över de Proportschoon to dat bestännige ¹²C utrekent warrn, wo lang de Organismus al dood is.

To’n Bispeel warrt bi’n ollen Balken vun en histoorsch Huus faststellt, dat noch 90 % vun’t oorsprüngliche ¹⁴C in de frischen Planten-Biomasse över sünd. För de Tiet, de sietdem vergahn is, gellt also:

${\displaystyle t=t_{1/2}\cdot \log _{2}(0{,}9)=5730\ \mathrm {a} \cdot \log _{2}\left(0{,}9\right)=-870{,}98\ \mathrm {a} }$

Dat heet nix anners, as dat de Boom, ut den de Balken maakt worrn is, vör ruchweg 871 Johren daalhaut weer.

Man, natürlich is de Öllersbestimmen nich op dat Johr nipp un nau. Wo goot dat henhaut is afhangig vun de Mengde vun Material, de för de Proov praat steiht, de Meetduer un de Kalibreeren för den Tietruum. De bruukten Redschoppen hebbt ünnerscheedlich Bedingen. In jüngerer Tiet warrt de Ünnersöken ok komplizeerter, wieldat de Andeel vun C-14 dör bövereerdsche Atomwapenversöken kortfristig anstegen is. Op de annern Siet stiggt aver ok de C-12-Anteil dör’t massenhafte Opböten vun fossile Energiedrägers. Sünners Fundstücken in de Neeg vun Autobahnen warrt dordör bannig swor.

De bioloogsche Halfweertstiet (ok Eliminatschoonshalfweertstiet nöömt) betekent in’n Sünnern de Tiet t_1/2 in de en in en bioloogsch Organismus (Plant, Deer, Minsch, Eenzeller) inlagerten radioaktiven, giftigen oder pharmazeutischen Stoff dör’t Tosamenspeel vun all bioloogschen un physikaalschen Vörgäng (Utscheden, Stoffwessel, Verfall usw.) op de Hälft rünnergahn is.

In de Pharmakokinetik warrt as de Halfweertstiet de Tiet betekent, in de de Hälft vun en opnahmen Heelmiddel dör Stoffwessel verbruukt oder utscheedt worrn is. Vun wegen, dat sik de bioloogsche Halfweertstiet ut verscheden Vörgäng tohopensett, de deelwies ünnerscheedliche Afhangigkeiten vun de Konzentratschoon hebbt, is se nich jümmer unafhangig vun de Utgangskonzentratschoon vun’n ünnersöchten Stoff.

In de effektive Halfweertstiet geiht de physikaalsche jüst so as de bioloogsche Halfweertstiet in.

In de Bibliometrie warrt bi’t Ünnersöken vun Publikatschonen verscheden Halfweertstieten faststellt. Brooks hett as een vun de eersten Halfweertstieten op dit Rebeet ünnersöcht.

De Halfweertstiet vun Literatur liggt bi ruchweg fief Johr. Dat gellt för Lesen sülvst, aver ok för de Tall vun Zitatschonen. Dat heet, dat en schreven Wark in’n Dörsnitt jeed Johr üm ruchweg 14 % weniger faken ut en Bibliotheek utlehnt oder ziteert warrt as in’t Johr dorvör. Dorvun utnahmen sünd Klassiker un de neesten Warken.

De Halfweertstiet vun Weblenken liggt ruchweg bi 51 Maanden. Dat bedüüdt, dat na een Johr üm un bi 15 % vun all Weblenken nich mehr gellt.

De Wedderverkoppsweert vun en Auto geiht ok ruchweg exponentiell mit sien Öller na ünnen bi en Halfweertstiet vun 4-5 Johren. Wenn to’n Bispeel en Neewagen 20.000 € köst, hett dat glieke Modell na veer Johr noch’n Weert vun 10.000 € un na acht Johr vun ruchweg 5.000 €.

1. ↑ Physical Review D, Vol. 50, Number 3, 1. Aug. 1994, Review of Particle Properties, p1270
2. ↑ http://atom.kaeri.re.kr/cgi-bin/nuclide?nuc=Be-8