Dirichletreeks
Een dirichletreeks, genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet, is in de wiskunde een reeks van de vorm:
waarin en de coëfficiënten complexe getallen zijn. De reeks wordt, bij gegeven coëfficiënten, opgevat als een complexe functie van het argument .
Dirichletreeksen vinden toepassing in de analytische getaltheorie om getaltheoretische problemen met behulp van methoden uit de functietheorie te onderzoeken. Een bekend voorbeeld is de riemann-zèta-functie. Ze komen ook als voortbrengende functie voor.[1]
Convergentie
bewerkenDe functie die bij gegeven bepaald wordt door de dirichletreeks:
- ,
heeft alleen betekenis voor waarden van waarvoor de reeks convergent is.
Is de rij begrensd, dan is de reeks absoluut convergent op het open halfvlak waarin . De functie is op dat halfvlak dan een analytische functie.
De riemann-zèta-functie
bewerkenAls voor alle , ontstaat de riemann-zèta-functie
- ,
die voor de harmonische reeks beschrijft en voor andere waarden van de hyperharmonische reeksen.