F-verdeling

F-verdeling
	Kansdichtheid;
	Verdelingsfunctie;
Parameters	vrijheidsgraden
Drager
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Verwachtingswaarde	als
Modus	Fout bij het parsen (SVG (MathML kan worden gebruikt via een browserplugin): Ongeldig antwoord ("Math extension cannot connect to Restbase.") van server "http://localhost:6011/nl.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \frac{m-2}{m}\;\frac{n}{n+2}} als
Variantie	als
Scheefheid	; als
Moment-; genererende functie	bestaat niet
Portaal	Wiskunde

De F-verdeling, genoemd naar Sir R.A. Fisher, is een kansverdeling die afgeleid is van de normale verdeling en die voornamelijk gebruikt wordt in de statistiek. De F-verdeling is de verdeling van het quotiënt van twee onderling onafhankelijke chi-kwadraatverdeelde grootheden. Zij vindt vooral toepassing in de variantie-analyse als verdeling van de toetsingsgrootheid van de F-toets.

De F-verdeling met $m$ vrijheidsgraden in de teller en $n$ vrijheidsgraden in de noemer is gedefinieerd als de verdeling van de stochastische variabele:

F_{m,n}={\frac {\chi _{m}^{2}/m}{\chi _{n}^{2}/n}}

,

waarin $\chi _{m}^{2}$ en $\chi _{n}^{2}$ onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn die beide chi-kwadraatverdeeld zijn met respectievelijk $m$ en $n$ vrijheidsgraden.

Als $S_{1}^{2}$ en $S_{2}^{2}$ respectievelijk de steekproefvarianties zijn van de eerste $m$ en de laatste $n$ van $m+n$ onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen $Z_{1},\dots ,Z_{m+n}$ , dan heeft de grootheid

F={\frac {S_{1}^{2}}{S_{2}^{2}}}

een F-verdeling met $m-1$ en $n-1$ vrijheidsgraden. Dit volgt direct uit de definitie van de F-verdeling, omdat de steekproefvariantie van een aantal onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen chi-kwadraatverdeeld is.

Kansdichtheid

De formule van de kansdichtheid $f_{m,n}$ wordt voor $x>0$ gegeven door:

f_{m,n}(x)={\frac {\Gamma ({\frac {m+n}{2}})}{\Gamma ({\frac {m}{2}})\Gamma ({\frac {n}{2}})}}{\frac {({\frac {m}{n}})^{m/2}x^{m/2-1}}{(1+{\frac {m}{n}}x)^{(m+n)/2}}}

Verwachtingswaarde

De verwachtingswaarde is

\operatorname {E} F_{m,n}={\frac {n}{n-2}}

;

deze bestaat dus voor $n>2$ .

Variantie

De variantie is

\operatorname {var} (F_{m,n})=2\left({\frac {n}{n-2}}\right)^{2}{\frac {m+n-2}{m(n-4)}}

;

deze bestaat voor $n>4$ .

Discrete verdelingen:	Bernoulli · binomiaal · geometrisch · hypergeometrisch · negatief-binomiaal · Poisson · uniform · zèta
Continue verdelingen:	bèta · Cauchy · chi-kwadraat · Erlang · exponentieel · F-verdeling · gamma · Gumbel · hyperexponentieel · logistisch · lognormaal · normaal · Pareto · Rayleigh · student (t-) · uniform · Weibull
Meerdimensionale verdelingen:	multinomiaal · multivariaat normaal