Шлях (топологія)
У математиці шлях в топологічному просторі X — це безперервне відображення f з одиничного відрізка I = [0,1] в X
- f : I → X.
Початковою точкою шляху є f(0), а кінцевою точкою — f(1). Часто говорять про «шлях з x в y», де x і y — початкова і кінцева точки шляху. Зауважимо, що шлях — це не просто підмножина X, яка «виглядає як» крива, він також включає параметризацію. Наприклад, відображення f(x) = x і g(x) = x2 представляють два різні шляхи від 0 до 1 на дійсній прямій.
Петля в просторі X з базовою точкою x ∈ X — це шлях з x в x. Петля може також бути визначена як відображення f : I → X з f(0) = f(1) або як неперервне відображення одиничного кола S1 в X
- f : S1 → X.
Останнє випливає з того, що S1 можна вважати фактор-простором I при ототожненні 0 з 1. Множина всіх петель на X утворює простір, який називається простором петель простору X[1].
Топологічний простір, в якому існує шлях, що з'єднує будь-які дві точки, називається лінійно зв'язаним. Будь-який простір можна розбити на множину лінійно зв'язаних компонент. Множина лінійно зв'язаних компонент простору X часто позначається π0(X);.
Можна також визначити шляхи і петлі в пунктованих просторах[en], які важливі в теорії гомотопій. Якщо X є топологічним простором з виділеною точкою x0, то шлях в X — це шлях, початковою точкою якого є x0. Подібним чином петля в X — це петля в точці x0.
Гомотопія шляхів
Шляхи і петлі є центральними об'єктами вивчення гілки алгебраїчної топології, званої теорією гомотопій. Гомотопія шляхів робить точним поняття неперервної деформації шляху при збереженні кінців шляху.
Зокрема, гомотопія шляхів у X — це сімейство шляхів ft : I → X індексованих за I, таких що
- ft(0) = x0 і ft(1) = x1 фіксовані.
- відображення F : I × I → X, задане F(s, t) = ft(s) є неперервним.
Кажуть, що шляхи f0 і f1 гомотопні (або, точніше, лінійно-гомотопні), якщо вони пов'язані гомотопією. Можна аналогічним чином визначити гомотопію петель, яка зберігає базову точку.
Відношення гомотопії є відношенням еквівалентності шляхів у топологічному просторі. Клас еквівалентності шляху f при цьому називається класом гомотопії f, і часто позначається [f].
Означення
Два шляхи і зі спільним початком та кінцем і називаються гомотопними в області , якщо існує неперервне відображення (через ми позначимо добуток відрізків, тобто квадрат ) так, що
Композиція шляхів
Можна утворити композицію шляхів у топологічному просторі очевидним чином. Нехай f — шлях з x в y, а g — шлях з y в z. Шлях fg визначається як шлях, одержуваний спочатку проходом f, а потім g:
Ясно, що композиція шляхів визначена тільки у випадку, коли кінцева точка f збігається з початковою точкою g. Якщо розглядати петлі в точці x0, то композиція шляхів є бінарною операцією.
Композиція шляхів, якщо вона визначена, не є асоціативною операцією з огляду на відмінності в параметризації. Проте вона є асоціативною з точністю до гомотопії. Тобто [(fg)h] = [f(gh)]. Композиція шляхів визначає структуру групи на множині гомотопних класів петель на X з базовою точкою x0. Результуюча група називається фундаментальною групою X із позначеною точкою x0 і зазвичай позначається π1(X,x0).
Можна визначити шлях в X як безперервне відображення інтервалу [0,a] X для будь-якого дійсного a ≥ 0. Шлях f цього виду має довжину |f|, визначається як a. Композиція шляхів тоді визначається, як і раніше, з такою зміною:
У той час як у попередньому визначенні f, g і fg мають довжину 1, дане визначення дає |fg| = |f| + |g|. В попередньому визначенні призводило до порушення асоціативності те, що хоча (fg)h і f(gh) мали одну довжину, а саме 1, середня точка (fg)h ви��влялася між g і h, у той час як середня точка f(gh) виявлялася між f і g. У модифікованому визначенні (fg)h і f(gh) мають однакову довжину, а саме |f|+|g|+|h|, і ті ж самі середні точки, які знаходяться в (|f|+|g|+|h|)/2, як для (fg)h, так і для f(gh). І навіть вони мають одну і ту саму параметризацію.
Фундаментальний групоїд
Будь-який топологічний простір X дає початок категорії, об'єктами якої є точки X, а морфізмами є класи гомотопії шляхів. Оскільки будь-який морфізм у цій категорії є ізоморфізмом, ця категорія є групоїдом, званим фундаментальним групоїдом X. Петлі в цій категорії є ендоморфізмами (всі вони насправді є автоморфізмами). Група автоморфізмів точки x0 в X — це просто фундаментальна група в X. Можна визначити фундаментальний групоїд на будь-якій підмножині A в X, використовуючи класи гомотопій шляхів, що з'єднують точки A.
Див. також
Література
- Ronald Brown. Topology and groupoids. — Deganwy, United Kingdom, 2006. — ISBN 1-4196-2722-8.
- Peter May. A concise course in algebraic topology. — Chicago, IL : University of Chicago Press, 1999. — ISBN 10: 0226511820 13: 9780226511825.
- James R. Munkres. Topology. — 2ed. — N.J. : Prentice Hall, 2000. — ISBN 0-13-181629-2.
- John Frank Adams. Infinite Loop Spaces. — Princeton University Press, 1978. — Т. 90. — (Annals of mathematics studies). — ISBN 9780691082066.
- О.Я. Виро, О.А. Иванов, Н.Ю. Нецветаев, В.М. Харламов. Элементарная топология. — М. : МЦНМО, 2010. — ISBN 978-5-94057-587-0.
Примітки
- ↑ Adams, 1978.
- ↑ Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.