N-esfera

En matemàtiques, una n-esfera o hiperesfera és una generalització n-dimensional del cercle 1-dimensional i de l'esfera 2-dimensional a qualsevol nombre n enter no negatiu.

El cercle es considera unidimensional i l'esfera bidimensional, perquè les superfícies en si són unidimensionals i bidimensionals, respectivament, no perquè existeixin com a formes a l'espai unidimensional i bidimensional.^{[Nota 1]} Com a tal, la n-esfera es la configuració per a la geometria esfèrica n-dimensional.

⁠

• 
  Esquelet d'una 2-esfera com a projecció ortogonal
• 
  De la mateixa manera que una projecció estereogràfica pot projectar la superfície d'una esfera a un pla, també pot projectar una 3-esfera en 3-espai. Aquesta imatge mostra tres direccions de coordenades projectades a 3 espais: paral·lels (vermell), meridians (blau) i hipermeridians (verd). A causa de la propietat conforme de la projecció estereogràfica, les corbes es tallen ortogonalment (en els punts grocs) com en 4D. Totes les corbes són cercles: les corbes que es tallen (0,0,0,1) tenen un radi infinit (= línia recta)

Considerada extrínsecament, com una hipersuperfície incrustada en un espai euclidià de (n+1)-dimensions, una n-esfera és el lloc geomètric dels punts que es troben a la mateixa distància (el radi) d'un punt central (el centre) donat. El seu interior, format per tots els punts més propers al centre que al radi, és una bola de (n+1)-dimensions. En particular:

• La 0-esfera és el parell de punts als extrems d'un segment lineal (1-bola).
• La 1-esfera és un cercle, la circumferència d'un disc (2-bola) en el pla bidimensional.
• La 2-esfera, sovint anomenada simplement esfera, és el límit d'una 3-bola en l'espai tridimensional.
• La 3-esfera és el límit d'una 4-bola en un espai de quatre dimensions.

Donat un sistema de coordenades cartesianes, la n-esfera unitat de radi 1 es pot definir com:

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\},}$

i una n-esfera de radi r es pot definir com

${\displaystyle S^{n}(r)=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=r\right\}.}$

Considerat intrínsecament, quan n≥1, la n-esfera és una varietat de Riemann de curvatura constant positiva i és orientable. La geodèsica de la n-esfera s'anomenen cercles màxims.

La projecció estereogràfica mapeja la n-esfera sobre n-espai amb un únic punt adjunt a l'infinit; sota la mètrica així definida, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ és un model per a la n-esfera.

En el context més general de la topologia, qualsevol espai topològic que sigui homeomòrfic a la unitat n-esfera s'anomena una n-esfera. Sota projecció estereogràfica inversa, la n-esfera és la compactació d'un punt de n-espai. Les n-esferes admeten diverses altres descripcions topològiques: per exemple, es poden construir enganxant dos n-espais dimensionals junts, identificant el límit d'un n-cub amb un punt, o (inductivament) formant la suspensió d'una (n − 1)-esfera. Quan n ≥ 2 està simplement connectat; la 1-esfera (cercle) no està simplement connectada; la 0-esfera ni tan sols està connectada, que consta de dos punts discrets.

Per a n ≥ 2, les n-esferes que són varietats diferenciables es poden caracteritzar (llevat d'un difeomorfisme) com les varietats n-dimensionals simplement connectades de curvatura positiva constant. Les n-esferes admeten diverses altres descripcions topològiques: per exemple, es poden construir enganxant dos espais euclidians n-dimensionals, identificant el límit d'un n-cub amb un punt o (inductivament) formant la suspensió d'una (n − 1)-esfera. La 1-esfera és la 1-varietat que és un cercle, que no està simplement connectat. La 0-esfera és la 0-varietat, que ni tan sols està connectada, que consta de dos punts.

Per a qualsevol nombre natural n, una n-esfera de radi r es defineix com el conjunt de punts de l'espai euclidià (n + 1)-dimensional que es troben a la distància r d'algun punt fix c, on r pot ser qualsevol nombre real positiu i on c pot ser qualsevol punt de l'espai (n + 1)-dimensional. En particular:

• una 0-esfera és un parell de punts {c − r, c + r}, i és el límit d'un segment lineal (1-bola).
• una 1-esfera és un cercle de radi r centrat en c i és el límit d'un disc (2-bola).
• una 2-esfera és una esfera ordinària de 2 dimensions en un espai euclidià de 3 dimensions, i és el límit d'una bola ordinària (3-bola).
• una 3-esfera és una esfera de 3 dimensions en un espai euclidià de 4 dimensions.

El conjunt de punts del (n+1)-espai, (x₁, x₂, ..., x_n+1), que defineixen una n-esfera, ${\displaystyle S^{n}(r)}$, es representa per l'equació:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

on c = (c₁, c₂, ..., cn+1) és un punt central i r és el radi.

La n-esfera anterior existeix a l'espai euclidià de (n + 1)-dimensions i és un exemple d'una n-varietat. La forma de volum ω d'una n-esfera de radi r ve donada per

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}=*dr}$

on ∗ és l'operador estrella de Hodge; vegeu Flanders (1989, §6.1) per a una discussió i demostració d'aquesta fórmula en el cas r = 1. Com a resultat,

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

L'espai tancat per una n-esfera s'anomena (n + 1)-bola. Una (n + 1)-bola està tancada si inclou la n-esfera, i està oberta si no inclou la n-esfera.

Concretament:

• Una 1-bola, un segment de línia, és l'interior d'una 0-esfera.
• Una 2-bola, un disc, és l'interior d'un cercle (1-esfera).
• Una 3-bola, una bola ordinària, és l'interior d'una esfera (2-esfera).
• Una 4-bola és l'interior d'una 3-esfera, etc.

Topològicament, una n-esfera es pot construir com una compactació d'un punt de l'espai euclidià n-dimensional. Breument, la n-esfera es pot descriure com Sn = ℝⁿ ∪ {∞}, que és un espai euclidià n-dimensional més un únic punt que representa l'infinit en totes les direccions.

En particular, si s'elimina un únic punt d'una n-esfera, esdevé homeomorf a ℝⁿ. Això constitueix la base per a la projecció estereogràfica.^[1]

V_n(R) i S_n(R) són el volum n-dimensional de la n-bola i l'àrea superficial de la n-esfera incrustada a la (n + 1)-dimensió, respectivament, de radi R.

Les constants V_n i S_n (per a R = 1, la bola i l'esfera unitat) estan relacionades per les recurrències:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}}$

Les superfícies i els volums també es poden donar en forma tancada:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n-1}(R)&={\frac {2\,\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}R^{n-1}\\[6pt]V_{n}(R)&={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}R^{n}\end{aligned}}}$

on Γ és la funció gamma. En aquesta secció es donen les derivacions d'aquestes equacions.

En general, el volum de la n-bola a l'espai euclidià n-dimensional i l'àrea de la superfície de la n-esfera a l'espai euclidià (n + 1)-dimensional, de radi R, són proporcionals a l'enèsima potència del radi, R (amb diferents constants de proporcionalitat que varien amb n). Escrivim V_n(R) = V_nRⁿ per al volum de la n-bola i S_n(R) = S_nRⁿ per a la superfície de la n-esfera, ambdues de radi R, on V_n = V_n(1) i S_n = S_n(1) són els valors per al cas de radi unitat.

El volum de la n-bola unitat és màxim a la dimensió cinc, on comença a disminuir, i tendeix a zero quan n tendeix a l'infinit.^[2] A més, la suma dels volums de n-boles de dimensions parells de radi R es pot expressar en forma tancada:^[2]

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}(R)=e^{\pi R^{2}}.}$

Per analogia, les de dimensions senars,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n+1}(R)=e^{\pi R^{2}}\operatorname {erf} ({\sqrt {\pi }}R),}$

on erf és la funció d'error.^[3]

La 0-bola consta d'un sol punt. La mesura de Hausdorff de 0-dimensions és el nombre de punts d'un conjunt. Així,

${\displaystyle V_{0}=1.}$

La 0-esfera consta dels seus dos extrems, {−1,1}. Així,

${\displaystyle S_{0}=2.}$

La 1-bola unitat és l'interval [−1,1] de longitud 2. Per tant,

${\displaystyle V_{1}=2.}$

La 1-esfera unitat és el cercle unitari en el pla euclidià, i aquest té una circumferència (mesura unidimensional)

${\displaystyle S_{1}=2\pi .}$

La regió tancada per la 1-esfera unitat és la 2-bola, o disc unitat, i aquesta té àrea (mesura bidimensional)

${\displaystyle V_{2}=\pi .}$

De manera anàloga, a l'espai euclidià tridimensional, l'àrea superficial (mesura bidimensional) de la 2-esfera unitat ve donada per

${\displaystyle S_{2}=4\pi .}$

i el volum inclòs és el volum (mesura tridimensional) de la 3-bola unitat, donat per

${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

L'àrea superficial, o pròpiament el volum n-dimensional, de la n-esfera al límit de la (n + 1)-bola de radi R està relacionada amb el volum de la bola per l'equació diferencial

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}},}$

o, de manera equivalent, representar la n-bola unitat com una unió de (n - 1)-corones esfèriques,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr.}$

Llavors,

${\displaystyle V_{n+1}={\frac {S_{n}}{n+1}}.}$

També podem representar la (n + 2)-esfera unitat com una unió de productes d'un cercle (1-esfera) amb una n-esfera. Sigui r = cos θ i r² + R² = 1, de manera que R = sin θ i dR = cos θ dθ. Llavors,

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n+2}&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}r\cdot S_{n}R^{n}\,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\cos \theta \,d\theta \\[6pt]&=\int _{0}^{1}S_{1}\cdot S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=S_{1}\int _{0}^{1}S_{n}R^{n}\,dR\\[6pt]&=2\pi V_{n+1}.\end{aligned}}}$

A partir de S₁ = 2π V₀, l'equació

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

val per a tots n.

Això completa la derivació de les recurrències:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{0}&=1&V_{n+1}&={\frac {S_{n}}{n+1}}\\[6pt]S_{0}&=2&S_{n+1}&=2\pi V_{n}\end{aligned}}}$

Combinant les recurrències, veiem que

${\displaystyle V_{n+2}=2\pi {\frac {V_{n}}{n+2}}.}$

Per tant, és senzill demostrar per inducció a k que,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{2k}&={\frac {\left(2\pi \right)^{k}}{(2k)!!}}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}\\[6pt]V_{2k+1}&={\frac {2\left(2\pi \right)^{k}}{(2k+1)!!}}={\frac {2k!\left(4\pi \right)^{k}}{(2k+1)!}}\end{aligned}}}$

on !! denota el doble factorial, definit per a nombres naturals senars 2k + 1 per (2k + 1)!! = 1 × 3 × 5 × ... × (2k − 1) × (2k + 1) i de la mateixa manera per als nombres parells (2k)!! = 2 × 4 × 6 × ... × (2k − 2) × (2k).

En general, el volum, en l'espai euclidià n-dimensional, de la n-bola unitat, ve donat per

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\left({\frac {n}{2}}\right)!}}}$

on Γ és la funció gamma, que compleix ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$, Γ(1) = 1, i Γ(x + 1) = xΓ(x), i així Γ(x + 1) = x!, i on definim a la inversa x! = Γ(x + 1) per a tot x.

Multiplicant V_n per R_n, diferenciant respecte a R, i després fixant ^{R = 1}, obtenim la forma tancada

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {n\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}$

per al volum (n − 1)-dimensional de l'esfera Sⁿ⁻¹.

Les recurrències es poden combinar per donar una relació de recurrència de «direcció inversa» per a la superfície, tal com es mostra al diagrama inferior:

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {n}{2\pi }}S_{n+1}}$

El desplaçament de l'índex n a n - 2 dóna llavors les relacions de recurrència:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}&={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}\\[6pt]S_{n-1}&={\frac {2\pi }{n-2}}S_{n-3}\end{aligned}}}$

on S₀ = 2, V₁ = 2, S₁ = 2π i V₂ = π .

• 
  n es refereix a la dimensió de l'espai euclidià ambiental, que també és la dimensió intrínseca del sòlid el volum del qual s'indica aquí, però que és 1 més que la dimensió intrínseca de l'esfera la superfície de la qual apareix aquí. Les fletxes vermelles corbes mostren la relació entre fórmules per a diferents n. El coeficient de la fórmula a la punta de cada fletxa és igual al coeficient de la fórmula a la cua d'aquesta fletxa multiplicat pel factor de la punta de la fletxa (on la n de la punta de la fletxa fa referència al valor n al qual apunta la fletxa). Si la direcció de les fletxes inferiors s'invertís, les seves puntes de fletxa dirien que es multipliquen per 2π/n − 2. Dit alternativament, l'àrea superficial S_n+1 de l'esfera en n + 2 dimensions és exactament 2πR vegades el volum Vn tancat per l'esfera en n dimensions

La relació de recurrència per a Vn també es pot demostrar mitjançant la integració amb coordenades polars 2-dimensionals:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{n}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left({\sqrt {1-r^{2}}}\right)^{n-2}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2\pi }V_{n-2}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,d\theta \,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\int _{0}^{1}\left(1-r^{2}\right)^{{\frac {n}{2}}-1}\,r\,dr\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}\left[-{\frac {1}{n}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n}{2}}\right]_{r=0}^{r=1}\\[6pt]&=2\pi V_{n-2}{\frac {1}{n}}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}.\end{aligned}}}$

Podem definir un sistema de coordenades en un espai euclidià n-dimensional que és anàleg al sistema de coordenades esfèriques definit per a l'espai euclidià tridimensional, en el qual les coordenades consisteixen en una coordenada radial r, i n - 1 coordenades angulars φ1, φ₂, ... φ_n−1, on els angles φ₁, φ₂, ... φ_n−2 oscil·len per sobre de [0,π] radians (o per sobre de [0,180] graus) i φ_n−1 per sobre de [0,2π) radians (o més de ^[0,360) graus). Si ^xi són les coordenades cartesianes, llavors podem calcular ^{x1, ... xn} a partir de r, φ₁, ... φ_n−1 amb:^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3})\\&\,\,\,\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}$

Excepte en els casos especials descrits a continuació, la transformació inversa és única:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}\\[6pt]\varphi _{1}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{1}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}\\[6pt]&\,\,\,\vdots &&\,\,\,\vdots \\[6pt]\varphi _{n-2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&&=\arccos {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+{x_{n-2}}^{2}}}}\\[6pt]\varphi _{n-1}&=2\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-1}+{\sqrt {x_{n}^{2}+x_{n-1}^{2}}}}{x_{n}}}&&={\begin{cases}\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}\geq 0,\\[6pt]2\pi -\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}<0.\end{cases}}\end{aligned}}}$

on si x_k ≠ 0 per a alguns k però tots x_k+1, ... x_n són zero, aleshores φ_k = 0 quan x_k > 0, i φ_k = π (180 graus) quan x_k < 0.

Hi ha alguns casos especials en què la transformada inversa no és única; φ_k per a qualsevol k serà ambigu sempre que tots x_k, x_k+1, ... x_n siguin zero; en aquest cas es pot triar que φ_k sigui zero.

Per expressar l'element de volum de l'espai euclidià n-dimensional en termes de coordenades esfèriques, primer s'ha d'observar que la matriu jacobiana de la transformació és:

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}\cos(\varphi _{1})&-r\sin(\varphi _{1})&0&0&\cdots &0\\\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&r\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})&-r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})&\cdots &\cdots &&&-r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})\\\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1})&r\cos(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-1})&\cdots &&&r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1})\end{pmatrix}}.}$

El determinant d'aquesta matriu es pot calcular per inducció. Quan n = 2, un càlcul senzill mostra que el determinant és r. Per a n més gran, s'ha d'observar que Jn es pot construir a partir de Jn − 1 de la següent manera. Excepte a la columna n, les files n − 1 i n de Jn són iguals que la fila n − 1 de Jn − 1, però multiplicades per un factor addicional de cos φ_{n − 1} a la fila n − 1 i un factor addicional de sin φ_{n − 1} a la fila n. A la columna n, les files n − 1 i n de Jn són iguals que la columna n − 1 de la fila n − 1 de J_{n − 1}, però multiplicades per factors addicionals de sin φ_{n − 1} a la fila n − 1 i cos φ_{n − 1} a la fila n, respectivament. El determinant de J_n es pot calcular mitjançant l'expansió de Laplace a la columna final. Per la descripció recursiva de J_n, la submatriu formada eliminant l'entrada a (n − 1, n) i la seva fila i columna gairebé és igual a J_{n − 1}, excepte que la seva darrera fila es multiplica per sin φ_{n − 1}. De la mateixa manera, la submatriu format suprimint l'entrada a (n, n) i la seva fila i columna són gairebé iguals a J_{n - 1}, excepte que la seva última fila es multiplica per cos φ_{n − 1}. Per tant, el determinant de J_n és

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}))(\sin(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}))(\cos(\varphi _{n-1})|J_{n-1}|)\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2})|J_{n-1}|(\sin ^{2}(\varphi _{n-1})+\cos ^{2}(\varphi _{n-1}))\\&=(r\sin(\varphi _{1})\dotsm \sin(\varphi _{n-2}))|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

Aleshores, la inducció dóna una expressió de forma tancada per a l'element de volum en coordenades esfèriques

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

La fórmula del volum de la n-bola es pot derivar d'això per integració.

De la mateixa manera, l'element de superfície de la (n - 1)-esfera de radi R, que generalitza l'element d'àrea de la 2-esfera, ve donat per

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

L'elecció natural d'una base ortogonal sobre les coordenades angulars és un producte de polinomis ultraesfèrics,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

per a j = 1, 2,... n − 2, i e^isφ_j per a l'angle j = n − 1 d'acord amb els harmònics esfèrics.

El sistema de coordenades esfèriques estàndard sorgeix d'escriure ℝⁿ com el producte ℝ × ℝ^{n − 1}. Aquests dos factors poden estar relacionats mitjançant coordenades polars. Per a cada punt x de ℝⁿ, les coordenades cartesianes estàndard

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

es poden transformar en un sistema mixt de coordenades polar-cartesianes:

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Això diu que els punts en ℝⁿ es poden expressar agafant el raig que comença a l'origen i passa per ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$, girant-lo cap a ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ per ${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$, i recorrent una distància ${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$ al llarg del raig. La repetició d'aquesta descomposició condueix finalment al sistema de coordenades esfèriques estàndard.

Els sistemes de coordenades polisfèriques sorgeixen d'una generalització d'aquesta construcció.^[5] L'espai ℝⁿ es divideix com el producte de dos espais euclidians de dimensió més petita, però cap dels dos espais és necessari per ser una línia. Concretament, suposem que p i q són nombres enters positius tals que n = p + q. Aleshores ℝⁿ = ℝ^p × ℝ^q. Utilitzant aquesta descomposició, un punt x ∈ ℝⁿ es pot escriure com

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Això es pot transformar en un sistema mixt de coordenades polar-cartesianes escrivint:

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Aquí ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ i ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ són els vectors unitaris associats a y i z. Això expressa x en termes de ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$i ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$, r ≥ 0 i un angle θ. Es pot demostrar que el domini de θ és [0, 2π) si p = q = 1, [0, π] si exactament un de p i q és 1, i [0, π/2] si ni p ni q són 1. La transformació inversa és

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arccos(\lVert \mathbf {z} \rVert /\lVert \mathbf {x} \rVert )\\&=\arctan(\lVert \mathbf {y} \rVert /\lVert \mathbf {z} \rVert ).\end{aligned}}}$

Aquestes divisions es poden repetir sempre que un dels factors implicats tingui una dimensió de dos o més. Un sistema de coordenades poliesfèriques és el resultat de repetir aquestes divisions fins que no queden coordenades cartesianes. Les divisions posteriors a la primera no requereixen una coordenada radial perquè els dominis de ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ i ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ són esferes, de manera que les coordenades d'un sistema de coordenades poliesfèriques són un radi no negatiu i n − 1 angles. Els possibles sistemes de coordenades poliesfèriques corresponen a arbres binaris amb n fulles. Cada node no-fulla de l'arbre correspon a una divisió i determina una coordenada angular. Per exemple, l'arrel de l'arbre representa ℝⁿ, i els seus fills immediats representen la primera divisió en ℝ^p i ℝ^q. Els nodes de fulla corresponen a coordenades cartesianes per a S^{n − 1}. Les fórmules per convertir de coordenades poliesfèriques a coordenades cartesianes es poden determinar trobant els camins des de l'arrel fins als nodes de la fulla. Aquestes fórmules són productes amb un factor per a cada branca presa pel camí. Per a un node la coordenada angular corresponent del qual és θ_i, prenent la branca esquerra introdueix un factor de sin θ_i i prenent la branca dreta introdueix un factor de cos θ_i. La transformació inversa, de coordenades poliesfèriques a coordenades cartesianes, es determina agrupant nodes. Cada parell de nodes que tingui un pare comú es pot convertir d'un sistema de coordenades polar-cartesià mixt a un sistema de coordenades cartesianes utilitzant les fórmules anteriors per a una divisió.

Les coordenades polisfèriques també tenen una interpretació en termes del grup ortogonal especial. Una escissió ℝⁿ = ℝ^p × ℝ^q determina un subgrup

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

Aquest és el subgrup que surt de cadascun dels dos factors ${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$ fixat. Escollir un conjunt de representants de classes per al quocient és el mateix que triar angles representatius per a aquest pas de la descomposició de coordenades poliesfèriques.

En coordenades poliesfèriques, la mesura del volum a ℝⁿ i la mesura de l'àrea a S^{n − 1} són productes. Hi ha un factor per a cada angle, i la mesura del volum a ℝⁿ també té un factor per a la coordenada radial. La mesura d'àrea té la forma:

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

on els factors F_i estan determinats per l'arbre. De la mateixa manera, la mesura del volum és

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

Suposem que tenim un node de l'arbre que correspon a la descomposició ℝ^{n₁ + n₂} = ℝ^n₁ × ℝ^n₂ i que té la coordenada angular θ. El factor F corresponent depèn dels valors de n₁ i n₂. Quan la mesura de l'àrea es normalitza de manera que l'àrea de l'esfera sigui 1, aquests factors són els següents. Si n₁ = n₂ = 1, llavors

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

Si n₁ > 1 i n₂ = 1, i si B denota la funció beta, doncs

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Si n₁ = 1 i n₂ > 1, llavors

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Finalment, si tant n₁ com n₂ són més grans que 1, aleshores

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

De la mateixa manera que una esfera bidimensional incrustada en tres dimensions es pot mapejar a un pla bidimensional mitjançant una projecció estereogràfica, una n-esfera es pot mapejar a un hiperpla n-dimensional mitjançant la versió n-dimensional de la projecció estereogràfica. Per exemple, el punt [x,y,z] d'una esfera bidimensional de radi 1 s'assigna al punt [x/1 − z,y/1 − z] al pla xy. En altres paraules,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

De la mateixa manera, la projecció estereogràfica d'una n-esfera Sⁿ de radi 1 s'aplicarà a l'hiperpla (n-1)-dimensional ℝⁿ⁻¹ perpendicular a l'eix x_n com

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Per generar punts aleatoris uniformement distribuïts a la (n - 1)-esfera unitat (és a dir, la superfície de la n-bola unitat), Marsaglia (1972) dóna el següent algorisme:

S'ha de generar un vector n-dimensional de desviacions normals (n'hi ha prou amb utilitzar N(0, 1), encara que de fet l'elecció de la variància és arbitrària), x = (x₁, x₂,... x_n). Desprès s'ha de calcular el «radi» d'aquest punt:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

1/rx es distribueix uniformement per la superfície de la n-bola unitat.

Una alternativa donada per Marsaglia és seleccionar uniformement aleatòriament un punt x = (x₁, x₂,... x_n) al n-cub unitat mostrant cada x_i independentment de la distribució uniforme sobre (–1,1), calculant r com anterior, i rebutjant el punt i tornant a mostrejar si r ≥ 1 (és a dir, si el punt no es troba a la n-bola), i quan s'obté un punt de la bola escalant-lo fins a la superfície esfèrica pel factor 1/r; després de nou 1/rx es distribueix uniformement per la superfície de la n-bola unitat. Aquest mètode esdevé molt ineficient per a dimensions més altes, ja que una fracció molt petita del cub unitat està continguda a l'esfera. En 10-dimensió, l'esfera omple menys del 2% del cub, de manera que normalment es necessitaran més de 50 intents. En 70-dimensió, menys que 10^-24 del cub s'omple, el que significa que normalment es necessitaran un bilió de quadrilions de proves, molt més del que un ordinador podria fer mai.

Amb un punt seleccionat uniformement a l'atzar de la superfície de la (n - 1)-esfera unitat (per exemple, utilitzant l'algorisme de Marsaglia), només cal un radi per obtenir un punt uniformement a l'atzar des de la n-bola unitat. Si u és un nombre generat uniformement a l'atzar a partir de l'interval [0, 1] i x és un punt seleccionat uniformement a l'atzar de la (n-1)-esfera unitat, aleshores u^1⁄nx es distribueix uniformement dins de la n-bola unitat.

Alternativament, els punts es poden mostrejar uniformement des de la n-bola unitat mitjançant una reducció de la (n + 1)-esfera unitat. En particular, si (x₁,x₂,...,x_n+2) és un punt seleccionat uniformement de la (n + 1)-esfera unitat, aleshores (x₁,x₂,...,x_n) es distribueix uniformement dins de la n-bola unitat (és a dir, simplement descartant dues coordenades).^[6]

Si n és prou gran, la major part del volum de la n-bola estarà contingut a la regió molt propera a la seva superfície, de manera que un punt seleccionat d'aquest volum també estarà a prop de la superfície. Aquest és un dels fenòmens que condueixen a l'anomenada maledicció de la dimensionalitat que sorgeix en algunes aplicacions numèriques i altres.

0-esfera

El parell de punts {±R} amb la topologia discreta per a alguns R > 0. L'única esfera que no està connectada per camí. Paral·lelitzable.

1-esfera

Comunament anomenat cercle. Té un grup fonamental no trivial. Estructura del grup abelià Lie U(1) (el grup circular). Homeomorf a la línia projectiva real.

2-esfera

Normalment s'anomena simplement esfera. Per a la seva complexa estructura, vegeu Esfera de Riemann. Equivalent a la línia projectiva complexa.

3-esfera

Paral·lelitzable, U(1)-fibrat principal sobre la 2-esfera, estructura de grup de Lie Sp(1).

4-esfera

Equivalent a la línia projectiva quaterniònica, HP1. SO(5)/SO(4).

5-esfera

U(1)-fibrat principal sobre CP². SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2). És indecidible si una varietat n-dimensional donada és homeomòrfica a Sⁿ per a n ≥ 5.^[7]

6-esfera

Posseeix una estructura gairebé complexa procedent del conjunt d'octonions unitats pures. SO(7)/SO(6) = G2/SU(3). La qüestió de si té una estructura complexa es coneix com el problema de Hopf, en honor a Heinz Hopf.^[8]

7-esfera

Estructura de quasigrup topològic com el conjunt d'octonions unitats. Sp(1)-fibrat principal sobre S⁴. Paral·lelitzable. SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G₂ = Spin(6)/SU(3). La 7-esfera té un interès particular, ja que va ser en aquesta dimensió on es van descobrir les primeres esferes exòtiques.

8-esfera

Equivalent a la línia projectiva octoniònica OP¹.

23-esfera

És possible un empaquetament d'esferes altament dens a l'espai de 24-dimensions, que està relacionat amb les qualitats úniques de la xarxa de Leech.

La n-esfera octaèdrica es defineix de manera similar a la n-esfera, però utilitzant la norma ${\displaystyle \ell _{1}}$

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

En general, pren la forma d'un polítop creuat.

• La 1-esfera octaèdrica és un quadrat (sense el seu interior).
• La 2-esfera octaèdrica és un octaedre regular; d'aquí el nom.
• La n-esfera octaèdrica és la unió topològica de n + 1 parells de punts aïllats.^[9] Intuïtivament, la unió topològica de dos parells es genera dibuixant un segment entre cada punt d'un parell i cada punt de l'altre parell; això dóna un quadrat. Per unir-ho amb un tercer parell, es dibuixa un segment entre cada punt del quadrat i cada punt del tercer parell; això dóna un octaedre.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: N-esfera

• Geometria conforme – Estudi de transformacions conservadores d'angles d'un espai geomètric.
• Esfera exòtica – Varietat llisa que és homeomòrfica però no diferent a una esfera.
• Esfera d'homologia – Varietat topològica l'homologia de la qual coincideix amb la d'una esfera.
• Grups d'homotopia d'esferes – Com es poden envoltar esferes de diverses dimensions.
• Inversió geomètrica – Estudi de transformacions conservadores d'angles.
• Transformació de Möbius – Funció racional de la forma (az + b)/(cz + d).