Τόξο (γεωμετρία)

(${\displaystyle \Rightarrow }$) Έστω ${\displaystyle ({\rm {O}},\rho )}$ ένας κύκλος και ${\displaystyle {\rm {\widehat {AOB}}}}$, ${\displaystyle {\rm {\widehat {\Gamma O\Delta }}}}$ ίσες επίκεντρες γωνίες που βαίνουν αντίστοιχα στα τόξα ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$. Μετατοπίζουμε τη γωνία ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}}$ έτσι ώστε η ημιευθεία ${\displaystyle {\rm {O\Delta }}}$ να ταυτιστεί με την ημιευθεία ${\displaystyle {\rm {OB}}}$. Τότε η ημιευθεία ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$ θα ταυτιστεί με την ημιευθεία ${\displaystyle {\rm {OA}}}$ από την ισότητα των γωνιών και τα σημεία ${\displaystyle \Gamma }$ και ${\displaystyle {\rm {\Delta }}}$ θα ταυτιστούν με τα σημεία ${\displaystyle {\rm {A}}}$ και ${\displaystyle {\rm {B}}}$ αντίστοιχα επειδή ${\displaystyle {\rm {OA=OB=O\Gamma =O\Delta =\rho }}}$ (ισότητα ευθύγραμμων τμημάτων).

Επίσης, κάθε σημείο του τόξου ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ συμπίπτει κατά τη μετατόπισή του με ένα σημείο του τόξου ${\displaystyle {\rm {AB}}}$: αν υπήρχε σημείο του τόξου ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ που δεν θα ανήκε στο τόξο ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, τότε θα έπρεπε να είναι είτε εξωτερικό είτε εσωτερικό σημείο του κύκλου, που είναι σε κάθε περίπτωση αδύνατο αφού είναι σημείο τόξου του κύκλου (απαγωγή σε άτοπο)· συνεπώς τα τόξα είναι ίσα.

(${\displaystyle \Leftarrow }$) Ας είναι ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ ένας κύκλος και ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ ίσα τόξα που φαίνονται αντίστοιχα υπό τις επίκεντρες γωνίες ${\displaystyle {\widehat {\rm {AOB}}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {\Gamma O\Delta }}}}$. Μετατοπίζουμε το τόξο ${\displaystyle {\rm {\Gamma \Delta }}}$ έτσι ώστε να ταυτιστεί με το τόξο ${\displaystyle {\rm {AB}}}$. Τότε η πλευρά γωνίας ${\displaystyle {\rm {O\Gamma }}}$ ταυτίζεται με την ${\displaystyle {\rm {OA}}}$ και η ${\displaystyle {\rm {O\Delta }}}$ ταυτίζεται με την ${\displaystyle {\rm {OB}}}$ και έτσι οι γωνίες είναι ίσες.

Έστω ένας κύκλος ${\displaystyle (\mathrm {O} ,\rho )}$ και ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ μία χορδή του. Αν ${\displaystyle {\rm {OM}}}$ είναι το απόστημα της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ τότε τα τρίγωνα ${\displaystyle {\rm {OMB}}}$ και ${\displaystyle {\rm {OMA}}}$ είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και υποτείνουσα ίση. Έτσι ${\displaystyle \mathrm {MA} =\mathrm {MB} }$, άρα το ${\displaystyle {\rm {M}}}$ θα είναι μέσο της ${\displaystyle {\rm {AB}}}$ και ${\displaystyle {\widehat {\rm {MOA}}}={\widehat {\rm {MOB}}}}$ (ισότητα γωνιών), δηλαδή ${\displaystyle \mathrm {NA} =\mathrm {NB} }$ (ισότητα τόξων) και το ${\displaystyle {\rm {N}}}$ είναι το μέσο του τόξου ${\displaystyle {\rm {AB}}}$.

Αν ${\displaystyle {\rm {M}}}$ είναι το μέσο ενός τόξου ${\displaystyle {\rm {AB}}}$, τότε θα είναι ${\displaystyle \mathrm {AM} =\mathrm {MB} }$ (ισότητα τόξων). Για τις αντίστοιχες επίκεντρες γωνίες θα ισχύει ${\displaystyle {\widehat {\rm {AOM}}}={\widehat {\rm {MOB}}}}$ (ισότητα γωνιών), που σημαίνει ότι η ημιευθεία ${\displaystyle {\rm {OM}}}$ είναι η διχοτόμος της γωνίας ${\displaystyle {\widehat {\rm {AOB}}}}$. Η διχοτόμος μίας γωνίας όμως είναι από αξίωμα μοναδική, συνεπώς το ${\displaystyle {\rm {M}}}$ θα είναι και αυτό μοναδικό.