Binoma koeficiento

En matematiko, binoma koeficiento aŭ duterma koeficiento aŭ simbolo de Newton ${\displaystyle {n \choose k}}$ (legu kiel "n inter k") estas funkcio de du argumentoj, malnegativaj entjeraj nombroj difinita kiel:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}$

kie n! signifas faktorialon.

Valoron de simbolo de Newton oni povas esprimi per rikura formulo:

${\displaystyle {n \choose k}={\begin{cases}1&{\mbox{ kie }}k=0{\mbox{ aŭ }}k=n\\{n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}&{\mbox{ kie }}0<k<n\end{cases}}}$

Ĝi estas homologa al difino, do oni povas uzi kiel alian difinon de binoma koeficiento.

Binoma koeficiento aperas en binomo de Newton kiel koeficiento en k-nomo de n-potenca disvolvo de binomo de Newton.

Simbolo de Newton ${\displaystyle {n \choose k}}$ estas kvanto de n-eraj subaroj en k-era aro.

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {\prod _{i=1}^{k}n-i+1}{\prod _{i=1}^{k}i}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n-i+1}{i}}}$

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{1\cdot 2\cdots k}}}$

${\displaystyle {n \choose 0}=1}$

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}}$

${\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1}$

${\displaystyle {0 \choose 0}=1}$

${\displaystyle {n \choose k+1}={n \choose k}\cdot {\frac {n-k}{k+1}}}$

${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r}{k}}{r-1 \choose k-1},k\neq 0}$

${\displaystyle (r-k){r \choose k}=r{r-1 \choose k}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\cdot {n \choose k}=0}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k{n \choose k}=n2^{n-1}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{r \choose m+k}{s \choose n-k}={r+s \choose m+n}}$

${\displaystyle {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}}$

${\displaystyle {n \choose k}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}}$

${\displaystyle {n \choose k}\geq \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}}$

Ĉi tiu artikolo ankoraŭ estas ĝermo. Helpu al Vikipedio plilongigi ĝin. Se jam ekzistas alilingva samtema artikolo pli disvolvita, traduku kaj aldonu el ĝi (menciante la fonton). Bonvolu aldoni parametron por plibone kategoriigi la paĝon.

• Kombinaĵo (kombinatoriko)