Ekzotika R⁴

En matematiko, ekzotika R⁴ estas glata sternaĵo kiu estas homeomorfa al la eŭklida spaco R⁴, sed ne difeomorfa. La unuaj ekzemploj estis trovitaj de Robion Kirby kaj Michael Freedman, per uzo de la kontrasto inter teoremoj de Freedman pri 4-sternaĵoj, kaj teoremoj de Simon Donaldson pri glataj 4-sternaĵoj. Estas kontinuumo de nedifeomorfaj diferencialeblaj strukturoj de R⁴, kiel estis montrita unue de Clifford Taubes.

Por ĉiu pozitiva entjero n escepte 4, ne estas ekzotikaj glataj strukturoj sur Rⁿ; en aliaj vortoj, se n≠4 do ĉiu glata sternaĵo homeomorfa al Rⁿ estas difeomorfa al Rⁿ.

Ekzotika R⁴ estas malgranda se ĝi povas esti glate enigita kiel malfermita subaro de la norma R⁴.

Malgranda ekzotika R⁴s povas esti konstruita startante de ne-bagatela glata 5-dimensia h-ena homologaĵo (kiu ekzistas laŭ pruvo de Donaldson ke la h-ena homologaĵa teoremo mankas en ĉi tiu dimensio) kaj uzante teoremon de Freedman ke la topologia h-ena homologaĵa teoremo veras en ĉi tiu dimensio.

Ekzotika R⁴ estas granda se ĝi ne povas esti glate enigita kiel malfermita subaro de la norma R⁴.

Ekzemploj de granda ekzotika R⁴ povas esti konstruitaj uzante tion ke kompaktaj 4-sternaĵoj povas ofte esti fenditaj kiel topologia sumo (per laboro de Freedman), sed ne povas esti fenditaj kiel glata sumo) (per laboro de Donaldson).

Estas almenaŭ unu maksimuma ekzotika R⁴, en kiun ĉiuj la alia R⁴ povas esti glate enigita kiel malfermita subaro.

Ansoj de Casson estas homeomorfaj al D²×R² laŭ teoremo de Freedman (kie D² estas la fermita unuobla disko) sed el teoremo de Donaldson sekvas ke ne ĉiuj el ili estas difeomorfaj al D²×R². En aliaj vortoj, iuj el ansoj de Casson estas ekzotikaj D²×R²s.

Ne estas sciate (kiel en 2006) ĉu estadas iu ekzotika 4-sfero. Ĉi tia ekzotika 4-sfero devus esti kontraŭekzemplo al la glata konjekto de Poincaré en dimensio 4. Iuj kredeblaj kandidatoj estas donitaj per tordo de Gluck.

• Ekzotika sfero
• Diferenciala strukturo