Conjunto difuso

Un conjunto difuso (en inglés: fuzzy set) es un conjunto que puede contener elementos de forma parcial, es decir, que la propiedad de que un elemento ${\displaystyle x}$ pertenezca al conjunto ${\displaystyle A}$ (${\displaystyle x\in A}$) puede ser cierta con un grado parcial de verdad. Este grado de pertenencia es una proposición en el contexto de la lógica difusa, y no de la lógica usual binaria, que solo admite dos valores: cierto o falso.

El grado de pertenencia de ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle A}$, o el grado de verdad de pertenecer al conjunto, se mide con un número real ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ comprendido entre 0 y 1, ambos inclusive. De forma rigurosa, el valor correspondiente a cada elemento define una función indicatriz ${\displaystyle \mu _{A}(x):X\rightarrow [0,1]}$, donde ${\displaystyle X}$ representa el conjunto universal del que el conjunto ${\displaystyle A}$ toma sus elementos. Por ello se suele hablar de subconjuntos difusos y no de conjuntos difusos.

Si el valor de esta función es 0, ${\displaystyle x}$ no pertenece a ${\displaystyle A}$. Si es 1, entonces ${\displaystyle x\in A}$ totalmente, y si ${\displaystyle 0<\mu _{A}(x)<1}$ entonces ${\displaystyle x}$ pertenece a ${\displaystyle A}$ de una manera parcial.^[1]​

La teoría de los subconjuntos difusos fue desarrollada por Lofti A. Zadeh en 1965 con el fin de representar matemáticamente la imprecisión intrínseca de ciertas categorías de objetos.^[2]​

Los subconjuntos difusos (o partes borrosas de un conjunto) permiten modelar la representación humana de los conocimientos (por ejemplo para medir nuestra ignorancia o una imprecisión objetiva) y mejorar así los sistemas de decisión, de ayuda a la decisión, y de inteligencia artificial.

Con los conjuntos difusos se pueden realizar las mismas acciones que con los conjuntos clásicos. Siendo dos conjuntos difusos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$ se definen las operaciones usuales:^[3]​

Conjuntos ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$	Definidos por ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ y ${\displaystyle \mu _{B}(x)}$
Intersección usual	${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\min\{\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)\}}$
Unión usual	${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\max\{\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)\}}$
Complementario usual	${\displaystyle \mu _{\bar {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$

• El núcleo de un subconjunto difuso ${\displaystyle ~A}$ es el conjunto de los elementos ${\displaystyle ~x}$ que pertenecen totalmente a ${\displaystyle A}$, es decir que verifican ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1}$.
• El soporte de subconjunto difuso ${\displaystyle A}$ es el conjunto de los ${\displaystyle x}$ que pertenecen, en cierta medida, a ${\displaystyle ~A}$. Es decir que verifican ${\displaystyle \mu _{A}(x)>0}$.
• Sean ${\displaystyle ~A}$ y ${\displaystyle ~B}$ dos subconjuntos difusos del conjunto ${\displaystyle ~C}$. Se dice que ${\displaystyle ~A}$ está incluido en ${\displaystyle ~B}$ si para todo ${\displaystyle x\in ~C}$, tenemos ${\displaystyle \mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$, es decir que los elementos de ${\displaystyle A}$ siempre pertenecen en mayor medida a ${\displaystyle ~B}$ que a ${\displaystyle ~A}$.
• Partiendo del subconjunto difuso ${\displaystyle A}$, se puede definir la familia de los conjuntos clásicos ${\displaystyle ~A_{t}}$, con ${\displaystyle t}$ variando en ${\displaystyle [0,1]}$, por ${\displaystyle A_{t}=\{x\in ~X/\mu _{A}(x)\geq t\}}$. El conocimiento de esta familia define totalmente ${\displaystyle A}$.

Por lo tanto, un conjunto difuso equivale, en concepto de información, a una familia infinita no numerable de conjuntos clásicos. La teoría de los subconjuntos difusos es por lo tanto muy distinta y mucho más compleja que la teoría de los conjuntos usuales. Por ejemplo, un conjunto finito clásico tiene un número finito de subconjuntos clásicos, pero un número infinito de subconjuntos difusos.

• Zadeh, L. A. (1965). «Fuzzy sets» (pdf). Information and Control (8): 338-353. 
• Zimmermann, Hans-Jürgen (2001). Fuzzy Set Theory—and Its Applications. Springer Science & Business Media.