Elkarkortasun

Elkarkortasuna edo propietate elkarkorra eragiketa bitar batzuen propietate matematiko bat da. Propietate horren arabera eragile elkarkor bereko bi elementu edo gehiago izanda, eragigaien sekuentzia aldatu gabe eragiketen ordenak ez du garrantzirik. Hau da, nahiz eta adierazpena parentesiekin antolatu, emaitza ez da aldatuko. Ikus:

${\displaystyle (2+3)+4=2+(3+4)=9\,}$

${\displaystyle 2\times (3\times 4)=(2\times 3)\times 4=24.}$

Parentesiak lerro bakoitzean berrantolatu diren arren, adierazpenen balioak ez dira aldatu. Hori egia denez batuketa eta biderketa edozein zenbaki errealetan egitean, esan daiteke "zenbaki errealen batuketa eta biderketa eragiketa elkarkorrak" direla.

Elkarkotasuna eta kommutagarritasuna ez dira gauza bera, hau da, bi operandoen ordenak emaitza aldatzen duen ala ez. Adibidez, ordenak ez du axola zenbaki errealen biderkatzean, hau da, a × b = b × a, eta zenbaki errealen biderketa eragiketa kommutatiboa dela esaten dugu.

Elkarkotasun-eragiketak ugariak dira matematiketan; izan ere, egitura aljebraiko askok (hala nola erdi-taldeek eta kategoriek) esplizituki eskatzen dute beren eragiketa bitarrak asoziatiboak izatea.

Hala ere, eragiketa garrantzitsu eta interesgarri asko ez dira asoziatiboak; esate baterako, kenketa, berreketa eta produktu bektorial gurutzatua. Zenbaki errealen propietate teorikoak ez bezala, informatikako koma flotatzaileko zenbakien batura ez da asoziatiboa, eta adierazpen bat lotzeko modua hautatzeak eragin esanguratsua izan dezake biribiltze-errorean.

William Rowan Hamilton izan zen lehenengoa "elkarkortasun propietate" terminoa erabiltzen^[1], 1844 inguruan. Garai horretan John T. Gravesek aipatutako oktonioien aljebraren ez-elkarkortasuna aztertzen ari zen^[2].

Izan bedi A multzo bat, non ${\displaystyle \circledcirc }$ barne-eragiketa bitar bat definitu baita, honela:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\circledcirc :&A\times A&\longrightarrow &A\\&(a,b)&\longmapsto &c=a\circledcirc b\end{array}}}$

${\displaystyle \circledcirc }$ eragiketa elkartezkoa dela esaten da, baldin eta:

${\displaystyle \forall a,b,c\in A\;:\quad a\circledcirc (b\circledcirc c)=(a\circledcirc b)\circledcirc c}$

Elkarkortasun-legea honela ere adieraz daiteke notazio funtzionalean:

${\displaystyle f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))\,}$

Zenbaki arrunten multzotik abiatuta

${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,3,4,\dots \}}$

batuketarako, honela definitua:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}+:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a+b\end{array}}}$

${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)\,}$k propietate asoziatiboa du, izan ere:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a+(b+c)=(a+b)+c}$

Adibidez:

${\displaystyle 5+(3+2)=(5+3)+2}$

Hala ere, kenketa-eragiketarako, honela definitua:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}-:&\mathbb {N} \times \mathbb {N} &\longrightarrow &\mathbb {N} \\&(a,b)&\longmapsto &c=a-b\end{array}}}$

${\displaystyle (\mathbb {N} ,-)\,}$k ez du elkarte-jabetzarik, izan ere:

${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {N} \;:\quad a-(b-c)\neq (a-b)-c}$

Adibidez:

${\displaystyle 5-(3-2)\neq (5-3)-2}$

• Banakortasun