Serie konbergente

Serie konbergentea bere gaien batura partzialen segidak limite finitua duen seriea da; kasu horretan, serieak batura finitua du, batura partzialen segidaren limitea hain zuzen^[1].

Kontuan hartutako serieak zenbakizkoak (termino erreal edo konplexuekin) edo bektorialak (eratutako espazio bektorialean balioekin) dira. Termino orokorraren serieak ${\displaystyle a_{n}}$ bat egiten du batuketa partzialen segidak bat egiten duenean.

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$

Kasu honetan, seriearen batura batura partzialen segidaren limitea da.

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\lim _{n\to \infty }a_{n}}$

Serie baten konbergentzia edo ez konbergentzia izaera ez da aldatzen seriearen termino-kopuru finitu bat aldatzen bada.

Konbergenteak dira sekuentzien serieak:

• Zenbaki oso bakoitietako elkarrekikoak, zeinuak tartekatuta dituztenak ${\displaystyle \left({\frac {1}{1}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{7}},{\frac {1}{9}},-{\frac {1}{11}},...\right)}$. Leibnizen serie bezala ezagutzen dira:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}...={\frac {\Pi }{4}}}$

• Zenbaki triangeluarren elkarrekikoak:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{21}}+...=2}$

• Hurrengo faktorialetako elkarrekikoak (n!):

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+...=e}$

• Ondoz ondoko karratu perfektuen elkarrekikoak (ikus Basileako problema):

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{36}}+...={\frac {\Pi ^{2}}{6}}}$

• 2ren potentzien elkarrekikoak:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+...=2}$

• 2ren berreturen elkarrekikoak, zeinu txandakatuekin:

${\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}+...={\frac {2}{3}}}$

• Fibonacciren zenbakien elkarrekikoak (ikus Fibonacciren alderantzizkoen konstantea):

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+...=\psi }$

• Zeinu txandakatuak dituzten zenbaki naturalen elkarrekikoak ${\displaystyle {\biggl (}{\frac {1}{1}},-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},...{\biggr )}}$:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2}$

Dibergenteak dira sekuentzien serieak:

• Zenbaki naturalen elkarrekikoak, serie harmonikoa bezala ezagutua dena ${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},...\right)}$:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+...\rightarrow \infty }$

• Zenbaki lehenen elkarrekikoak ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{7}},{\frac {1}{11}},{\frac {1}{13}},...\right)}$:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+...\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \sum a_{n}}$ seriea absolutuki konbergentea dela diogu baldin eta termino orokorraren seriea ${\displaystyle \lVert a_{n}\rVert }$ konbergentea bada. Kasu honetan ${\displaystyle \sum a_{n}}$ serieak bat egiten du.

Erabateko konbergentzia oso interesgarria da Banachen espazio batean balioak dituzten serieak aztertzeko (horixe da zenbaki-serieen kasua), non nahikoa baita serieak erabateko konbergentzia izatea bat egiten duela frogatzeko. Teknika horri esker, kasu askotan, termino positiboen serieetan soilik egin daiteke azterketa; horretarako, metodo ugari daude.

Konparazio irizpidea: izan bitez ${\displaystyle \sum a_{n}}$ eta ${\displaystyle \sum b_{n}}$ gai positiboko serieak, ${\displaystyle \sum a_{n}<<\sum b_{n}}$ izanik. Orduan:

• ${\displaystyle \sum b_{n}}$ konbergentea bada, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ere konbergentea da.

• ${\displaystyle \sum a_{n}}$ dibergentea bada, ${\displaystyle \sum b_{n}}$ ere dibergentea da.

Limitearen irizpidea: izan bitez ${\displaystyle \sum a_{n}}$ eta ${\displaystyle \sum b_{n}}$ gai positiboko serieak, ${\displaystyle b_{n}\neq 0}$ izanik ${\displaystyle n\in N}$ guztietarako. Izan bedi ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\lambda }$.

• ${\displaystyle \lambda \neq 0,+\infty }$ denean, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ konbergentea da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle \sum b_{n}}$ konbergentea bada.
• ${\displaystyle \lambda =0}$ denean, ${\displaystyle \sum b_{n}}$ konbergentea bada, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ere konbergentea da.
• ${\displaystyle \lambda =+\infty }$ denean, ${\displaystyle \sum b_{n}}$ dibergentea bada, ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ere dibergentea da.

D'Alamberten irizpidea: izan bedi ${\displaystyle \sum a_{k}}$ seriea gai positiboko seriea eta demagun ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=l}$ limitea existitu egiten dela. Orduan:

• l < 1 bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{k}}$ konbergentea da.

• l > 1 bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{k}}$ dibergentea da.

Raaberen irizpidea: izan bedi ${\displaystyle \sum a_{k}}$ gai positiboko seriea, zeinetarako ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=1}$ den, eta izan bedi ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }1-{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}=l}$. Orduan:

• l >1 edo l = ${\displaystyle \infty }$ bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{k}}$ konbergentea da.

• l <1 bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{k}}$ dibergentea da.

Cauchyren irizpidea edo erroaren irizpidea: izan bedi ${\displaystyle \sum a_{k}}$ gai positiboko seriea eta demagun ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{a_{k}}}=l}$ limitea existitzen dela. Orduan:

• l < 1 bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{k}}$ konbergentea da.

• l >1 bada, orduan ${\displaystyle \sum a_{k}}$ dibergentea da.

Integralaren irizpidea: Izan bedi f funtzio positiboa eta beherakorra [1, +${\displaystyle \infty }$) tartean. Izan bedi ${\displaystyle a_{k}=f(k)}$, ${\displaystyle k\in \mathrm {N} }$ guztietarako. Orduan ${\displaystyle \sum a_{k}}$ konbergentea da baldin eta soilik baldin ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{1}^{k}f(x)dx}$ existitzen bada eta finitua bada.