Leonhard Euler

Euler naceu en Basilea, fillo de Paul Euler, un pastor da igrexa reformada, e Marguerite Brucker, filla de pastor. Tivo dúas irmás máis novas que se chamaron Anna Maria e Maria Magdalena. Pouco despois do nacemento de Leonhard, a familia mudouse de Basilea á cidade de Riehen, onde Euler pasou gran parte da súa infancia. Paul Euler foi amigo da familia Bernoulli, e Johann Bernoulli, que entón era recoñecido coma o máis destacado matemático europeo da época, influiría dun xeito importante na mocidade de Leonhard. Mandárono estudar a Basilea, onde comezou a súa educación formal e viviu coa súa avoa materna. Tiña trece anos cando se matriculou na Universidade de Basilea, graduándose en filosofía no ano 1723 cunha disertación comparativa das filosofías de Descartes e Newton. Os sábados pola tarde recibía naquela época as clases de Johann Bernoulli, quen rapidamente se decatou do seu incrible talento para as matemáticas.^[4]

A instancia do seu pai, Euler estudaba naquel intre teoloxía, grego, e hebreo para facerse pastor. Johann Bernoulli interveu, e convenceu a Paul Euler de que o destino de Leonhard era o de se converter nun gran matemático. En 1726, Euler doutorouse cunha disertación sobre a propagación do son co título De Sono e en 1727, participou na competición organizada pola Academia Francesa das Ciencias. O problema proposto ese ano era o de achar a mellor forma de colocar o mastro nun barco. Quedou no segundo posto, por detrás de Pierre Bouguer—coñecido hoxe en día como "o pai da arquitectura naval". De tódolos xeitos Euler chegaría a gañar o cobizado premio nun total de doce veces na súa vida.^[5]

Por esta época dous dos fillos de Johann Bernoulli, Daniel e Nicolaus, traballan en San Petersburgo na recentemente creada Academia Rusa das Ciencias. En xullo de 1726, Nicolaus morre de apendicite tras un ano en Rusia, e cando Daniel asume a praza do seu irmán na sección de matemáticas/física, recomenda que o seu amigo Euler ocupe o posto en fisioloxía que el deixara libre. En novembro de 1726 Euler aceptou ilusionado a oferta, mais aprazou a súa viaxe a San Petersburgo. Entrementres optou sen fortuna a unha praza de profesor de física na Universidade de Basilea.^[6]

Euler chegou á entón capital rusa o 17 de maio de 1727. Promovérono dende a súa praza novel no departamento de medicina da academia a un posto no departamento de matemáticas. Hospedouse con Daniel Bernoulli con quen a miúdo traballou en estreita colaboración. Euler pronto dominou o ruso e afíxose á vida en San Petersburgo. Tamén aceptou un traballo adicional como médico na Armada rusa.^[7]

A Academia de San Petersburgo, creada por Pedro o Grande, tiña como fins mellorar a educación en Rusia e pechar a fenda científica coa Europa Occidental. Por iso era tan atractiva para especialistas estranxeiros coma Euler: a academia posuía amplos recursos financeiros e unha extensa biblioteca confeccionada a partir das bibliotecas privadas do propio Pedro e da nobreza. Algúns estudantes foran contratados na academia co fin de diminuír a carga docente do profesorado, e así facer fincapé na investigación e ofrecer ao seu profesorado o tempo e a liberdade de dedicarse á resolución de problemas científicos.^[8]

Con todo, Catarina I, benfeitora da academia que tentou continuar as políticas progresistas do seu defunto marido, morre o día en que Euler chega. Entón a nobreza rusa gaña poder sobre o ascendido emperador Pedro II que só tiña doce anos. A nobreza receaba dos científicos estranxeiros da academia, e reduce fondos provocando outras numerosas dificultades a Euler e aos seus compañeiros.

As condicións melloraron lixeiramente trala morte de Pedro II, e Euler ascende rapidamente de rango facéndose profesor de física en 1731. Dous anos despois Daniel Bernoulli marcha a Basilea farto da censura e das hostilidades afrontadas en San Petersburgo, sucedéndoo Euler á fronte do departamento de matemáticas.^[9]

O 7 de xaneiro de 1734 casa con Katharina Gsell, filla dun pintor da academia. Xuntos mercan unha casa ao carón do río Neva, e teñen trece fillos, dos cales só cinco chegan a mozos. [1]

Preocupado polo tempo de confusión que vivía Rusia, Euler debatíase entre quedar en San Petersburgo e marchar. Frederico II de Prusia ofrécelle un posto en Berlín na Academia Prusiana das Ciencias, e Euler acéptao.

Deixa San Petersburgo o 19 de xuño de 1741 e pasa os seguintes vinte e cinco anos en Berlín, onde escribe aproximadamente 380 artigos. Alí publica os seus dous máis célebres traballos: Introductio in analysin infinitorum (versión en francés en [2]) acerca de funcións e publicado en 1748, e Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, traballo sobre cálculo diferencial.^[1]

Ademais, o rei Frederico pediulle a Euler que fora o titor da súa sobriña, a Princesa de Anhalt-Dessau. As cerca de 200 cartas que Euler lle escribiu foron recompiladas no libro Lettres a une Princesse d'Allemagne sur quelques sujets de physique et de philosophie (versión en castelán: Cartas a unha princesa de Alemaña sobre diversos temas de física e filosofía^[10]). Nelas Euler expón certos contidos pertencentes á física e á matemática, ademais de ofrecer interesantes elementos para coñecer a súa personalidade e as súas crenzas relixiosas. Foi este o seu libro máis amplamente lido, por enriba de calquera das súas obras matemáticas, o que dá unha mostra da especial habilidade que tiña Euler para comunicar cuestións científicas ao público profano na materia.^[1]

Finalmente, a pesar da súa inmensa contribución ao prestixio da academia, Euler viuse na obriga de deixar Berlín, en parte por mor dun conflito persoal co rei Frederico. Frederico víalo pouco sofisticado en comparación co círculo de filósofos que trouxera á academia. Entre estes estaba Voltaire, quen gozaba dunha posición de favor no círculo social do rei. Euler, relixioso e traballador, era totalmente convencional nas súas crenzas e gustos. Dende varios puntos de vista era oposto de Voltaire. Euler tiña unha moi limitada formación en retórica e tendía a discutir sobre materias das que sabía pouco, facéndose branco continuo da agudeza de Voltaire.^[1] Frederico tamén sentíase decepcionado coas habilidades en enxeñería de Euler:

Quería ter un chorro de auga no meu xardín de Sanssouci: Euler calculou a forza das rodas precisa para subir a auga a un depósito, dende onde debera volver canalizada para finalmente saír con forza. Construíuse o muíño xeometricamente e non podía subir nin un trago de auga máis que a vinte pasos do depósito. Vaidade das vaidades! Vaidade da xeometría!^[11]

A vista de Euler empeorou ao longo de toda a súa carreira matemática. En 1735, tres anos despois de sufrir unha grave febre, quedou practicamente cego do seu ollo dereito, botándolle a culpa ao meticuloso traballo de cartografía que levara a cabo na academia de San Petersburgo. A visión nese ollo empeorou tanto ao longo da súa estadía en Alemaña que o rei Frederico referíase a el coma o "ciclope". Máis tarde Euler sufriu unha catarata no seu ollo esquerdo, quedando practicamente cego poucas semanas despois do seu diagnóstico. De tódolos xeitos, semella que isto non incidiu na súa produtividade, pois compensaba a súa cegueira coa súa destreza para o cálculo mental e a súa memoria fotográfica. Por exemplo, Euler podía repetir a Eneida de Virxilio dende o comezo ata o final sen dubidar, e para cada páxina da edición podía indicar que liña era a primeira e cal a derradeira.^[2]

Dende a suba ao trono de Catarina a Grande mellorou enormemente a situación de Rusia, e en 1766 Euler acepta a invitación de volver á academia de San Petersburgo para pasar alí o resto da súa vida.

A súa segunda estancia en Rusia estivo en parte marcada pola traxedia. Un incendio en 1771 en San Petersburgo custoulle o seu fogar e case a súa vida. En 1773, morre a súa muller tras pasar 40 anos xuntos. Euler volvería a casar aos tres anos.

Euler morre en San Petersburgo o 18 de setembro de 1783 logo de sufrir unha hemorraxia cerebral, sendo enterrado no mosteiro de Alexander Nevsky. O seu eloxio fúnebre para a academia francesa foi escrito polo matemático e filósofo francés Nicolas de Condorcet, mentres que para a academia rusa o seu xenro e secretario da academia Nikolaus von Fuss fixo no seu eloxio un repaso da súa vida e obra. Dixo Condorcet,

...de súpeto caéuselle a pipa da man, e deixou de calcular e de vivir. [3]

Euler traballou en case tódalas áreas da matemática: a xeometría, o cálculo infinitesimal, a trigonometría, a álxebra, e a teoría de números, ademais de na física dos medios continuos, a teoría lunar e outros campos da física. É difícil esaxerar a súa importancia na historia das matemáticas: a meirande parte da súa obra é dun interese fundamental, impresa ocuparía entre 60 e 80 volumes^[2], e o seu nome está asociado a unha longa lista de temas. Dise que publicou máis traballos que calquera outro matemático^[13], se cadra só o matemático húngaro Paul Erdős foi tan prolífico coma el.

Euler introduciu e popularizou bastantes convenios de notación a través dos seus numerosos e amplamente difundidos textos. O máis notable foi a introdución do concepto de función^[1]; Euler foi o primeiro en escribir f(x) para denotar a aplicación da función f sobre o argumento x. Tamén introduciu a notación moderna das funcións trigonométricas, a letra e (hoxe tamén chamado número de Euler) para a base do logaritmo natural, a letra grega Σ para os sumatorios e a letra ${\displaystyle i}$  para denotar a unidade imaxinaria.^[14] Tamén popularizou o uso da letra grega π para denotar a razón da lonxitude dunha circunferencia polo seu diámetro, aínda que orixinariamente non foi o primeiro en empregala. [4]

O cálculo infinitesimal formaba parte do máis avanzado na investigación matemática do século XVIII, e os Bernoulli (amigos da familia de Euler) foron responsables de moitos dos primeiros progresos na materia. Grazas á súa influencia, o estudo do cálculo deveu dun xeito natural na parte principal do traballo de Euler. Aínda que algunhas das demostracións de Euler non serían aceptables baixo estándares modernos de rigor matemático,^[15] as súas ideas conduciron a numerosos avances de importancia.

Son ben coñecidas as súas investigacións sobre as series de potencias, isto é, expresións dunha función como suma de infinitos termos, coma por exemplo

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}={\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .}$ 

Especialmente importante foi a súa descuberta das expansións en serie de potencias do número e e da función arco tanxente. O seu audaz (e baixo estándares modernos, tecnicamente incorrecto) uso das series de potencias permitiulle resolver en 1735 o famoso problema de Basilea:^[15]

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}+\cdots .}$ 

Euler empregou por vez primeira a función exponencial e as funcións logarítmicas nas demostracións da análise matemática. Descubriu as expresións de varias funcións logarítmicas como series de potencias, e definiu con éxito o logaritmo dun número negativo ou o dun número complexo non nulo. Deste xeito expandiu en gran medida o alcance da aplicación dos logaritmos nas matemáticas.^[14] Definiu tamén a función exponencial complexa e descubriu a súa relación coas funcións trigonométricas: para calquera número real ${\displaystyle \phi }$ , a fórmula de Euler establece que

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i{\rm {{sen}\varphi \,.}}}$ 

Cando ${\displaystyle \phi }$  toma o valor do número pi, obtense como caso especial a identidade de Euler,

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,,}$ 

considerada por Richard Feynman como "a máis importante fórmula das matemáticas", polo seu uso sinxelo das nocións de adición, multiplicación, exponenciación, e igualdade, e dos números 0, 1, ${\displaystyle e}$ , ${\displaystyle i}$  e π.^[16]

Ademais, Euler comeza o estudo doutras funcións transcendentes coma a función gamma e introduce un novo método para resolver ecuacións de cuarto grao. Tamén atopa un xeito de calcular integrais con límites complexos, presaxiando o desenvolvemento da análise complexa moderna, e crea o cálculo de variacións xunto co seu máis coñecido resultado, a ecuación de Euler-Lagrange.

Euler tamén foi un pioneiro no uso de métodos analíticos para resolver problemas da teoría de números. Deste xeito uniu dúas ramas separadas da matemática nun novo campo de estudo, a teoría analítica de números. Neste campo Euler abriu camiño creando a teoría de series hiperxeométricas, q-series, funcións trigonométricas hiperbólicas e a teoría analítica de fraccións continuas. Por exemplo, demostrou a existencia de infinitos números primos usando o feito de que a serie harmónica diverxe, e empregou métodos analíticos no estudo da distribución dos números primos. O traballo de Euler nesta área conduciu ao establecemento do teorema do número primo.^[1]

Talvez o grande interese de Euler na teoría de números debeuse á influencia do seu amigo na Academia de San Petersburgo, Christian Goldbach. Ao comezo, moita da súa investigación en teoría de números estaba baseada en traballos de Pierre de Fermat, desenvolvendo algunhas das súas ideas á vez que refutando outras das súas conxecturas máis extravagantes.

O traballo de Euler estaba en parte enfocado cara a procura de relacións entre a distribución dos números primos e nocións da análise. Demostrou que a serie dos inversos dos números primos diverxe. Deste xeito decatouse da relación existente entre a función zeta de Riemann e os números primos, coñecida como produto de Euler para a función zeta de Riemann.

Euler demostrou as identidades de Newton, o teorema pequeno de Fermat, o teorema de Fermat da suma de dous cadrados, e fixo varias contribucións ao teorema de Lagrange dos catro cadrados. Tamén definiu a función indicatriz de Euler φ(n) que asigna a un enteiro positivo n o número de enteiros positivos menores que n e coprimos con n. Empregando propiedades desta función foi capaz de xeneralizar o teorema pequeno de Fermat no resultado coñecido como teorema de Euler. Contribuíu significativamente á comprensión dos números perfectos, que dende Euclides fascinaran aos matemáticos. Euler fixo progresos cara ao teorema do número primo e conxecturou a lei de reciprocidade cuadrática, dous resultados fundamentais na teoría de números. As súas ideas achaiaron o terreo para o traballo de Carl Friedrich Gauss.^[1]

Arredor de 1772 Euler demostrou que 2³¹ - 1 = 2,147,483,647 é un número primo de Mersenne. Sería o maior número primo coñecido ata 1867. [5]

En 1736, Euler resolveu o problema das sete pontes de Königsberg.^[17] O río Pregel atravesaba a cidade prusiana de Königsberg (hoxe Kaliningrado, en Rusia), creando dúas illas no seu interior conectadas co resto da cidade e entre elas por medio de sete pontes. O problema consistía en probar se é posible facer unha ruta que atravese cada ponte unha soa vez, e volver ao punto de partida. A resposta ao problema é que non é posible, pois o mapa da cidade non se corresponde cun circuíto euleriano. Considérase que esta resolución foi o primeiro teorema da teoría de grafos e da teoría de grafos planares.^[17] Euler tamén introduciu o que hoxe coñecemos como característica de Euler dun espazo, e a fórmula que relaciona o número de arestas, vértices, e faces dun poliedro convexo con esta constante. O estudo e xeneralización desta fórmula, en concreto por Cauchy^[18] e L'Huillier,^[19] está na orixe da topoloxía.

Un dos maiores éxitos de Euler foi o emprego de métodos analíticos na resolución de problemas do mundo real, describindo numerosas aplicacións dos números de Bernoulli, das series de Fourier, dos diagramas de Venn, dos números de Euler, das constantes e e π, das fraccións continuas e das integrais. Fusionou o cálculo diferencial de Leibniz co método das fluxións de Newton, e desenvolveu ferramentas que fixeron máis sinxela a aplicación do cálculo infinitesimal aos problemas físicos. Deu grandes pasos na mellora da aproximación numérica das integrais, inventando o que hoxe en día se coñece como método de Euler, a fórmula de Euler-Maclaurin e introducindo a constante de Euler-Mascheroni:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}$ 

Un dos intereses menos comúns de Euler foi a aplicación de nocións matemáticas á música. En 1739 escribiu o Tentamen novae theoriae musicae, coa esperanza de integrar a teoría musical dentro das matemáticas. Esta parte da súa obra non recibiu moita atención ao ser considerada a miúdo demasiado matemática para os músicos e demasiado musical para os matemáticos.^[20]

Euler axudou a desenvolver a ecuación de Euler-Bernoulli, pedra angular da enxeñería. Ademais de aplicar con éxito as súas ferramentas analíticas a problemas da mecánica clásica, Euler tamén aplicou estas técnicas a problemas celestes. O seu traballo en Astronomía foi recoñecido pola Academia de París con varios premios ao longo da súa carreira. Entre outros logros determinou con grande exactitude as órbitas de cometas e outros corpos celestes, chegando a calcular a paralaxe do sol. Os seus cálculos tamén axudaron a elaborar táboas de lonxitude precisas.^[21]

Euler tamén fixo importantes contribucións á óptica. Discordaba coa teoría corpuscular da luz que Newton expuxera en Opticks, e que era a teoría predominante. Os seus traballos sobre óptica da década de 1740 axudaron a que a teoría ondulatoria da luz proposta por Christiaan Huygens chegara a ser a teoría que se impuxera, cando menos ata o desenvolvemento da teoría cuántica da luz.^[22]

Tamén se lle atribúe o uso de curvas pechadas, chamadas hoxe diagramas de Euler, para ilustrar os siloxismos.^[23]

Euler e mailo seu amigo Daniel Bernoulli opuxéronse ao monismo de Leibniz e á filosofía de Christian Wolff. Euler insistía en que o coñecemento está baseado en parte en precisas leis cuantitativas, algo que Wolff e o monismo non provían. A súa aversión a esta doutrina podería tamén ter relación coas súas tendencias relixiosas; chegou a cualificar as ideas de Wolff como "pagás e ateas".^[24]

A meirande parte das crenzas relixiosas de Euler pódense deducir das súas Cartas a unha princesa de Alemaña e dun traballo anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister (Defensa da revelación divina contra as obxeccións dos librepensadores). Estes traballos preséntano coma un cristián incondicional e un literalista bíblico (por exemplo, o Rettung foi ante todo un argumento a favor da inspiración divina das escrituras).^[25]

Hai unha famosa anécdota inspirada nas discusións sobre relixión de Euler cos filósofos segrares, que aconteceu durante o segundo período de Euler na academia de San Petersburgo. O filósofo francés Denis Diderot visitaba Rusia baixo a invitación de Catarina a Grande. Aínda así, a emperatriz temía que os argumentos do filósofo acerca do ateísmo influenciaran aos membros da súa corte, polo que pediu a Euler que lle fixera fronte. Diderot foi informado entón de que un erudito matemático demostrara a existencia de Deus: el concordou con ver a proba así como fora presentada na corte. Euler apareceu, avanzou cara Diderot, e nun ton de total convencemento anunciou, "Señor, ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {a+b^{n}}{n}}=x\end{matrix}}}$ , logo Deus existe!". Diderot, para quen as matemáticas eran un galimatías (ou iso di a historia), quedou estupefacto e toda a corte rompeu en gargalladas. Avergoñado, pediu abandonar Rusia, petición xentilmente outorgada pola emperatriz. Á marxe do divertido da anécdota, seguramente esta é falsa, xa que Diderot era un hábil matemático.^[26]

A continuación preséntase unha selección da obra de Euler, que inclúe só os traballos que Euler publicou separadamente. Unha listaxe completa pódese atopar en [6]:

• Dissertatio physica de sono (Basilea, 1727), en latín
  • Transcrición e tradución ao inglés [7] por Ian Bruce
• Mechanica sive motus scientia analytice exposita (San Petersburgo, 1736), en latín
• Einleitung in die Arithmetik (ibid., 1738), en alemán e ruso
• Tentamen novae theoriae musicae (ibid., 1739), en latín
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti (Lausana, 1744), en latín
  • Additamentum II (anexo traducido ao inglés)
• Theoria motuum planetarum et cometarum (Berlín, 1744), en latín
• Beantwortung verschiedener Fragen über die Beschaffenheit, Bewegung und Würckung der Cometen (ibid., 1744), en alemán
• Neue Grundsätze der Artillerie (ibid., 1745), en alemán
• Opuscula varii argumenti (ibid., 1746), en latín
• Gedancken von den Elementen der Cörper (ibid., 1746), en alemán
• Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister (ibid., 1747), en alemán
• Introductio in analysin infinitorum (Lausana, 1748), en latín
  • Introduction à l'analyse infinitésimale (traducido ao francés por J.B Labey, 1796)
• Scientia navalis: volume 1 e volume 2 (San Petersburgo, 1749), en latín
• Exposé concernant l’examen de la lettre de M. de Leibnitz (Berlín, 1752), en francés
• Theoria motus lunae exhibens omnes eius inaequalitates (ibid., 1753), en latín
• Dissertatio de principio mininiae actionis (ibid., 1753), en latín e francés
• Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum (ibid., 1755), en latín
• Constructio lentium objectivarum (San Petersburgo, 1762), en latín
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (Rostock, 1765), en latín
• Institutionum calculi integralis: volume 1 e volume 2 (San Petersburgo, 1768-1769), en latín
• Lettres a une Princesse d'Allemagne sur quelques sujets de physique et de philosophie (San Petersburgo, 1768-1772), en francés
• Vollstandige Anleitung zur Algebra: volume 1 e volume 2 (ibid., 1770), en alemán xunto coa tradución ao inglés de John Hewlett
• Dioptricae: volume 1 e volume 2 (ibid., 1769-1770), en latín
• Theoria motuum lunae (ibid., 1772), en latín
• Théorie complete de la construction et de la manoeuvre des vaisseaux (ibid., 1773), en francés
• Eclarcissemens sur les etablissemens publics en faveur tant des veuves que des morts, (ibid., 1776), en francés
• Opuscula analytica: volume 1 e volume 2 (San Petersburgo, 1783-1785), en latín

• Aldington, R. (ed.), Letters of Voltaire and Frederick the Great, Letter H 7434, 25 January 1778, Brentano's, 1927. (en inglés)
• Alexanderson, G., Euler and Königsberg's bridges: a historical view, Bulletin of the American Mathematical Society, 2006. (en inglés)
• Baron, M. E., A Note on The Historical Development of Logic Diagrams, The Mathematical Gazette: The Journal of the Mathematical Association, Vol LIII, 383, maio de 1969. (en inglés)
• Boyer, C.B., Historia de la matemática, Alianza, 2003. ISBN 84-206-8186-5 (en castelán)
• Brown, B.H., The Euler-Diderot Anecdote, The American Mathematical Monthly, 49 (5), p. 302–303, 1942.</ref>
• Calinger, R., Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741), Historia Mathematica, 23 (2) 1996. (en inglés)
• Cauchy, A.L., Recherche sur les polyèdres—premier mémoire, Journal de l'École Polytechnique, 9 (Cahier 16), p. 66–86, 1813. (en francés)
• Dunham, W., Euler :el maestro de todos los matemáticos, segunda edición, Nivola, 2006. ISBN 84-930719-6-X (en castelán)
• Euler, L., Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister, en Leonhardi Euleri Opera Omnia (ed. Orell Füssli), 1960. (en alemán)
• Feynman, R.P., Leighton, R.B. e Sands M., Física. Volumen I: Mecánica, radiación y calor, Prentice Hall-Pearson Education-Addison Wesley, 1998. ISBN 968-444-350-1 (en castelán)
• Hairer, E. e Wanner, G., Analysis by its history, terceira edición, Springer, 2005. ISBN 0-387-94551-2 (en inglés)
• Home, R.W., Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light, Annals of Science, 45 (5), p. 521–533, 1988. (en inglés)
• James, I., Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-52094-0 (en inglés)
• L'Huillier, S.-A.-J., Mémoire sur la polyèdrométrie, Annales de Mathématiques, 3, p. 169–189, 1861. (en francés)
• Mínguez, C. (ed.), Cartas a una princesa de Alemania sobre diversos temas de física y filosofía, Universidade de Zaragoza, 1990. ISBN 84-7733-145-6 (en castelán)
• Stewart, J., Redlin, L. e Watson, S., Algebra and Trigonometry, Brooks/Cole Pub. Co., 2000. ISBN 0-534-38029-8 (en inglés)
• Youschkevitch, A.P., Biografía en Dictionary of Scientific Biography (ed. Gillispie, C.C.), Charles Scribner and Sons, 1970–1990. ISBN 0-684-10114-9 (en inglés)

• Matemático
• 1 − 2 + 3 − 4 + ...

• Eloxio fúnebre a Euler Lido polo seu xenro e discípulo Nikolaus von Fuss na Academia Rusa das Ciencias de San Petersburgo o 23 de outubro de 1783. Traducida ao inglés por John S.D. Glaus.
• Eloxio fúnebre a Euler Lido polo Marqués de Condorcet na Academia Francesa das Ciencias de París o 6 de febreiro de 1785. Traducida ao inglés por John S.D. Glaus.
• O maior número primo coñecido cada ano: unha historia breve Por Chris Caldwell. (en inglés)
• Sexta serie de billetes do Banco Nacional Suízo Emitida no ano 1976.
• Sétima serie de billetes do Banco Nacional Suízo Emitida no ano 1984.
• The Euler archive Fonte na que se poden atopar as publicación orixinais dos traballos de Euler. (en inglés)