מודל הייזנברג (קוונטי)

מודל הייזנברג הקוונטי הוא מודל מתמטי במכניקה סטטיסטית המשמש למחקר של נקודות קריטיות ומעברי פאזה במערכות מגנטיות, כאשר הספינים של מערכות אלו מיוצגים קוונטית.

בדומה ל-מודל איזינג, גם במודל זה, עבור סריג בעל d ממדים, בכל נקודת סריג מצוי מומנט מגנטי, או 'ספין' S, אשר ערכו הוא בינארי (לרוב מיוצג בתור 1 + ו 1-), כאשר בייצוג מרחבי הספין מתואר כחץ שמצביע "מעלה" או "מטה". הספינים מקובעים לנקודות הסריג ואינם יכולים לנוע, אך יכולים לשנות את ערכם מערך בינארי אחד לשני, בהתאם לאינטראקציה ביניהם.

מסיבות קוונטיות (ראה אינטראקציית שחלוף) הצימוד בין 2 מומנטים מגנטיים כאשר הם מיושרים לאותו כיוון, גורם למערכת להימצא ברמת אנרגיה נמוכה מינימלית. תחת הנחה זו (כך שאינטראקציות מגנטיות אלו קורות רק בין מומנטים מגנטיים צמודים) ההמילטוניאן של המערכת מוגדר כך:

${\displaystyle {\hat {H}}=-J\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\sigma _{j+1}-h\sum _{j=1}^{N}\sigma _{j}\quad (1)}$

כאשר ${\displaystyle J}$ הוא קבוע הצימוד עבור מודל חד־ממדי המכיל ${\displaystyle N}$ מומנטים מגנטיים, אשר מיוצגים על ידי ווקטורים קלאסיים (או ספינים) σ_j בכפוף לתנאי שפה מחזורי ${\displaystyle \sigma _{N+1}=\sigma _{1}}$.

מודל הייזנברג הוא מודל יותר מציאותי יחסית למודלים אחרים בכך שהוא מתייחס לספינים קוונטית, על ידי החלפת אופרטור הספין הקלאסי באופרטור קוונטי (מטריצות פאולי של ספין 1/2), ובהחלפת קבוע הצימוד החד־ממדי ${\displaystyle J}$ בקבועי הצימוד ${\displaystyle J_{x},J_{y},}$ ו- ${\displaystyle J_{z}}$ עבור 3 ממדים. לאחר ביצוע החלפות אלו ההמילטוניאן (1) מוגדר כך:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N}(J_{x}\sigma _{j}^{x}\sigma _{j+1}^{x}+J_{y}\sigma _{j}^{y}\sigma _{j+1}^{y}+J_{z}\sigma _{j}^{z}\sigma _{j+1}^{z}-h\sigma _{j}^{z})\quad (2)}$

כאשר ${\displaystyle h}$ מייצג שדה מגנטי חיצוני עם תנאי שפה מחזוריים ב-ספין ${\displaystyle s=1/2}$ ואילו ${\displaystyle \sigma _{j}^{x}}$, ${\displaystyle \sigma _{j}^{y}}$ ,${\displaystyle \sigma _{j}^{z}}$ מייצגות את מטריצות הספין המוגדרות על ידי מטריצות פאולי:

${\displaystyle \sigma ^{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\quad (3)}$

${\displaystyle \sigma ^{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\quad (4)}$

${\displaystyle \sigma ^{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\quad (5)}$

ההמילטוניאן פועל על מכפלה טנזורית ${\displaystyle (\mathbb {C} ^{2})^{\otimes N}}$ של ממד ${\displaystyle 2^{N}}$. המטרה היא להעריך את ספקטרום האנרגיה שעבורו התרמודינמיקה של המערכת ניתנת לניתוח ו-פונקציית החלוקה ניתנת לחישוב. תת-המודל הידוע ביותר של מודל הייזנברג הוא מודל הייזנברג XXZ, עבור המקרה שבו ${\displaystyle J=J_{x}=J_{y}\neq J_{z}=\Delta }$. מודל הייזנברג של ספין ${\displaystyle s=1/2}$ בממד אחד ניתן לפתרון מדויק על ידי שיטת אנסאץ (ניחוש מושכל).

הפיזיקה של מודל הייזנברג תלויה באופן מובהק בסימן של ${\displaystyle J}$ קבוע הצימוד ובממד של המרחב:

• עבור ${\displaystyle J>0}$ (חיובי) - רמת האנרגיה הבסיסית, קרי רמת האנרגיה הנמוכה ביותר היא תמיד פרומגנטית.

• עבור ${\displaystyle J>0}$ (שלילי) - רמת האנרגיה הבסיסית, קרי רמת האנרגיה הנמוכה ביותר היא אנטי פרומגנטית ב-2 ו-3 ממדים, כאשר רמת האנרגיה הבסיסית מחושבת ע"פ מודל הובארד. בממד אחד מידת האנטי פרומגנטיות של מודל הייזנברג תלויה בספין של המומנטים המגנטיים:

• עבור ${\displaystyle S=K}$ (ספין שלם) - קיים רק סדר קצר טווח.

• עבור ${\displaystyle S={K \over 2}}$ (ספין חצי - שלם) - קיים גם סדר ארוך טווח.

השלכה נוספת של המודל נוגעת לאנטרופיה של שזירה קוונטית. הדרך לתאר זאת היא לחלק את רמת האנרגיה הבסיסית לבלוק (הכולל מספר ספינים עוקבים) וסביבה (שאר רמת האנרגיה הבסיסית). האנטרופיה של הבלוק יכולה להיחשב כאנטרופיה של שזירה קוונטית. בטמפרטורה אפס באזור הקריטי (בגבול התרמודינמי) האנטרופיה עולה לוגריתמית בהתאם לגודל הבלוק. כאשר הטמפרטורה עולה, התלות הלוגריתמית משתנה לתלות ליניארית^[1]. עבור טמפרטורה גבוהה, התלות הליניארית נובעת מהחוק השני של התרמודינמיקה.

מכניקה סטטיסטית
תאוריה	עקרון גידול האנטרופיה • ergodic theory
תרמודינמיקה סטטיסטית	צברים • פונקציית חלוקה • משוואות מצב • פוטנציאלים תרמודינמיים: (U • H • F •‏ G) • קשרי מקסוול
מודל סטטיסטי	Ferromagnetism models (איזינג • פוטס • הייזנברג • חלחול EN) • חלקיקים בעלי שדה כוחות (כוחות דלדול EN • פוטנציאל לנארד-ג'ונס)
גישות מתמטיות	משוואת בולצמן • משפט־H • משוואת ולסוב • מדרג BBGKY • תהליך סטוכסטי • תורת שדה ממוצע ותורת השדות הקונפורמית
תופעות קריטיות	מעבר פאזה • אקספוננט קריטי (מרחק קורלציה • size scaling)
אנטרופיה	בולצמן • שאנון • צאליס • רניי • פון נוימן
יישומים	תורת השדות הסטטיסטית (חלקיקים יסודיים • נוזלי־על) • פיזיקה של חומר מעובה • מערכות מורכבות (כאוס • תורת האינפורמציה • אנטרופיה בתרמודינמיקה ובתורת האינפורמציה • מכונת בולצמן)

• R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics, London, Academic Press, 1982
• H. Bethe, Zur Theorie der Metalle, Zeitschrift für Physik A, 1931 doi:10.1007/BF01341708