Numero primo di Sophie Germain

Un numero primo di Sophie Germain è un numero primo ${\displaystyle p}$ tale che ${\displaystyle 2p+1}$ è anch'esso un numero primo. Il numero ${\displaystyle 2p+1}$ è invece chiamato primo sicuro. Prendono nome dalla matematica francese Sophie Germain, che all'inizio del XIX secolo li usò per dimostrare un caso particolare dell'ultimo teorema di Fermat.

I numeri primi di Sophie Germain minori di 10⁴ sono:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791.

A marzo 2016, il più grande primo di Sophie Germain conosciuto è ${\displaystyle 2618163402417\cdot 2^{1290000}-1}$, un numero di 388342 cifre decimali, scoperto nel febbraio 2016 da James Scott Brown attraverso il progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.^[1]

I numeri primi di Sophie Germain devono soddisfare diverse restrizioni modulari: ad esempio, se ${\displaystyle p}$ è congruo ad 1 modulo 3, allora ${\displaystyle 2p+1\equiv 0{\bmod {3}}}$, ovvero 3 divide ${\displaystyle 2p+1}$. Di conseguenza, ogni numero primo di Sophie Germain (ad eccezione di 3) sono congrui a 2 modulo 3. Partendo da un qualsiasi primo ${\displaystyle q}$ al posto di 3, è possibile con lo stesso ragionamento eliminare una classe di resto modulo ${\displaystyle q}$: ad esempio, se ${\displaystyle p}$ è congruo a 2 modulo 5 (e diverso da 2) allora non è un primo di Sophie Germain.

I primi di Sophie Germain sono collegati con i primi di Mersenne. Eulero dimostrò che, se un primo di Sophie Germain è della forma ${\displaystyle p=4k-1}$, allora ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle 2^{p}-1}$, che quindi non è un numero primo.

Non è noto se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain. Usando tecniche di crivello, si può congetturare che il numero di primi di Sophie Germain minori di ${\displaystyle n}$ sia asintotico a

${\displaystyle 2C_{2}{\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}$

dove (${\displaystyle p}$ varia tra i numeri primi)

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p>2}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0,660161}$

è la costante dei numeri primi gemelli.

Attorno al 1825, Sophie Germain dimostrò che, se ${\displaystyle p}$ e ${\displaystyle q}$ sono due numeri primi tali che

1. ${\displaystyle p}$ non è una ${\displaystyle p}$-esima potenza modulo ${\displaystyle q}$, e
2. se ${\displaystyle x,y,z}$ sono numeri interi, ${\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}\equiv 0{\bmod {q}}}$ implica che ${\displaystyle q}$ divide ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ o ${\displaystyle z}$,

allora il "primo caso" dell'ultimo teorema di Fermat vale per ${\displaystyle p}$, ovvero se ${\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0}$, allora ${\displaystyle p}$ divide almeno uno tra ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$.

In particolare, se ${\displaystyle q=2p+1}$, allora la prima condizione è sempre soddisfatta (purché ${\displaystyle p>3}$) grazie al piccolo teorema di Fermat (in quanto ${\displaystyle a^{p}}$ può essere congruo solo a ${\displaystyle 1}$ o a ${\displaystyle -1}$ modulo ${\displaystyle q}$. Allo stesso modo, ${\displaystyle x^{p}}$, ${\displaystyle y^{p}}$ e ${\displaystyle z^{p}}$ sono uguali a ${\displaystyle 1}$ o a ${\displaystyle -1}$ modulo ${\displaystyle q}$; di conseguenza,

${\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}\equiv (-1)^{a}+(-1)^{b}+(-1)^{c}{\bmod {q}}}$

(per interi ${\displaystyle a,b,c}$) e questo può avvenire solo se ${\displaystyle q=3}$. Questo argomento, inoltre, può essere usato indipendentemente dal teorema generale per dimostrare direttamente il primo caso quando ${\displaystyle p}$ è un primo di Sophie Germain.

Varianti di questo ragionamento portarono poi Legendre a dimostrare che ${\displaystyle p}$ verifica il primo caso dell'ultimo teorema di Fermat nel caso in cui uno tra ${\displaystyle 4p+1}$, ${\displaystyle 8p+1}$, ${\displaystyle 10p+1}$, ${\displaystyle 14p+1}$ e ${\displaystyle 16p+1}$ sia un numero primo.

• Paulo Ribenboim, Lecture IV - The Naïve Approach, in 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, New York, Springer-Verlag, 1979, ISBN 978-0-387-90432-0.
• Victor Shoup, 5.5.5 - Sophie Germain primes, in A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, Cambridge University Press, 2009, pp. 123–124, ISBN 978-0-521-51644-0.

• (EN) Chris Caldwell, Sophie Germain prime, su The Prime Pages. URL consultato il 19 gennaio 2015.
• (EN) Chris Caldwell, Sophie Germain (p), su The Prime Pages. URL consultato il 19 gennaio 2015.
• (EN) Sequenza A005384, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

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