Torus

En torus er et matematisk objekt, mer presist en mangfoldighet. Den har form som en smultring (uten fyll). Én måte å realisere torusen på er ved å dreie en sirkel om en linje som ligger utenfor sirkelen. En annen måte er å starte med et rektangulært «materiale», og lime sammen to og to sider (se animasjonen til høyre).

En parameterfremstilling av torusen er gitt ved:

${\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}$

${\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}$

${\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}\,}$

Ring-torus

Horn-torus

Spindel-torus

Utsnitt av de tre typene toruser.

hvor ${\displaystyle u,v\in [0,2\pi )}$, R er avstanden fra sentrum av røret til sentrum av torusen, og r er radiusen til røret. Forskjellige verdier av r og R gir forskjellige typer toruser. En ring-torus er det vi får om R > r, eller med andre ord at dreiesirkelen i innledningen har større avstand fra linjen enn radiusen. En horn-torus er det vi får om R=r, og en spindel-torus er det vi får om R < r. Topologisk ser spindel-torusen ut som en sfære limt på en annen sfære via to punkter.

Ved hjelp av Pappos' sentroideteorem kan vi regne ut overflatearealet A og volumet V for en ring-torus i tre dimensjoner:

${\displaystyle A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr}$

${\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}}$

En torus er topologisk det samme som produktet av to sirkler: ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$. Den har genus 1. Fundamentalgruppen til torusen T er ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.