Grupa Lorentza

Grupa Lorentza – grupa transformacji układu współrzędnych 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego, takich że interwały czasoprzestrzenne nie ulegają zmianie, przy czym początek układu współrzędnych pozostaje bez zmian.

Transformacje Lorentza są więc izometriami w 4-wymiarowej przestrzeni, która jest przestrzenią pseudoeuklidesową, oraz stanowi podgrupę grupy Poincarégo (ta ostatnia dopuszcza także translacje początku układu współrzędnych).

Fundamentalne równania fizyki wykazują symetrię Lorentza, np.:

• prawa ruchu ciał szczególnej teorii względności,
• równania Maxwella w klasycznej teorii elektromagnetyzmu,
• równanie Diraca opisujące ruch elektronu w ramach mechaniki kwantowej (i ogólnie: w kwantowej teorii fermionów o spinie 1/2),
• Model Standardowy cząstek elementarnych.

Symetria ta oznacza, że dokonując transformacji Lorentza z danego układu współrzędnych do innego, otrzyma się prawa fizyki wyrażone przez inne zmienne, ale postać algebraiczna tych praw pozostanie bez zmian; realizacja transformacji polega na zastąpieniu zmiennych ${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}}$ w równaniach opisujących prawa fizyki przez zmienne ${\displaystyle x'{^{0}},x'{^{1}},x'{^{2}},x'{^{3}},}$ takie że

${\displaystyle x'^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }\,x^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3,}$

gdzie ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$ – macierz transformacji Lorentza (patrz niżej).

Doniosłą rolę symetrii grupy Lorentza odkrył Albert Einstein: formułując szczególną teorię względności, zapostulował, iż teorie fizyczne opisujące prawa przyrody powinny posiadać symetrię Lorentza i podał to jako warunek do konstruowania teorii fizycznych.

Powyżej wymienione teorie zakładają płaską czasoprzestrzeń, tj. opisaną diagonalnym tensorem metrycznym (patrz niżej). Dalszy rozwój teorii doprowadził do odkrycia ogólniejszych symetrii w ogólnej teorii względności oraz w kwantowej teorii pola. Np. w ogólnej teorii względności symetria Lorentza pozostała jedynie symetrią lokalną, tj. obowiązuje w na tyle małych obszarach, że można pominąć w nich zmianę pola grawitacyjnego.

Nazwa grupy pochodzi od holenderskiego fizyka Hendrika Lorentza.

Transformacje układów współrzędnych należące do transformacji Lorentza muszą spełniać warunki:

(1) Nie mogą deformować czasoprzestrzeni, co oznacza, że dopuszczalne są przekształcenia w ramach płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego, której tensor metryczny ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ jest macierzą diagonalną

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$

taką samą dla każdego punktu czasoprzestrzeni. Warunek ten jest równoważny założeniu, że odległość czasoprzestrzenną dwóch zdarzeń liczy się w każdym układzie inercjalnym według tej samej zasady: od kwadratów różniczek czasowych odejmuje się kwadraty różniczek przestrzennych.

Uwaga: Składowe kowariantne tensora metrycznego są identyczne jak składowe kontrawariantne, tj.

${\displaystyle g^{\mu \nu }=g_{\mu \nu }.}$

(2) Zachowują odległości w czasoprzestrzeni.

Tensor metryczny transformuje się przy przejściu do nowego układu współrzędnych zgodnie z prawami transformacji tensorów

${\displaystyle g^{\alpha '\beta '}=\Lambda _{\alpha }^{\alpha '}\Lambda _{\beta }^{\beta '}g^{\alpha \beta }.}$

Wymaganie, by tensor ten nie zmienił się oznacza, że

${\displaystyle g^{\alpha '\beta '}=g^{\alpha \beta },}$

co implikuje warunek

${\displaystyle g^{\alpha \beta }=\Lambda _{\alpha }^{\alpha '}\Lambda _{\beta }^{\beta '}g^{\alpha \beta }.}$

Z powyższego wzoru wynika, że wyznacznik macierzy transformacji ${\displaystyle \Lambda }$ wynosi ${\displaystyle -1}$ lub ${\displaystyle +1,}$ gdyż wyznacznik lewej strony wynosi det g= -1, a wyznacznik prawej strony jest iloczynem (det g) (det L) (det L), stąd mamy

${\displaystyle \det(\Lambda _{\alpha }^{\alpha '})=\pm 1.}$

Macierze ${\displaystyle \Lambda }$ spełniające powyższe warunki nazywa się macierzami Lorentza. Można pokazać, że macierz transformacji spełnia warunek

${\displaystyle g=\Lambda ^{T}g\Lambda ,}$

Oznacza to, że macierz Lorentza jest macierzą pseudoortogonalną.

Założenie, że tensor metryczny nie zależy od współrzędnych przestrzennych oznacza, że zakłada się płaską czasoprzestrzeń (czasoprzestrzeń Minkowskiego), opisywaną przez szczególną teorię względności, a pomija efekty jej zakrzywienia w wyniku grawitacji (wtedy tensor metryczny miałby składowe zależne od współrzędnych, np. rozwiązanie Schwarzschilda).

Macierze transformacji Lorentza tworzą grupę macierzy zwaną grupą Lorentza, gdyż:

(a) działanie grupowe – polegające na sukcesywnym składaniu dwu lub większej liczby transformacji – daje w wyniku także jakąś transformację Lorentza

(a′) macierz transformacji będącej złożeniem kilku transformacji jest iloczynem macierzy odpowiadających tym transformacjom, np.

${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{(1)}\Lambda _{(2)}\ldots \Lambda _{(k)}}$

(b) w zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa, zadana macierzą jednostkową

${\displaystyle \Lambda =I;}$

transformacja ta oznacza pozostanie w tym samym układzie współrzędnych,

(c) do każdej transformacji istnieje transformacja odwrotna^[1], np.

• dla obrotów w przestrzeni jest to obrót w przeciwną stroną o ten sam kąt,
• dla przejść do układu odniesienie poruszającego się np. z prędkością ${\displaystyle {\vec {v}}=[v_{x},0,0]}$ transformacja odwrotna oznacza przejście do układu poruszającego się z prędkością przeciwną ${\displaystyle {\vec {v}}=[-v_{x},0,0],}$

Transformacje Lorentza obejmują^[2]

• obroty w przestrzeni,
• odbicia przestrzenne (inwersje),
• odwrócenie czasu,
• właściwe transformacje Lorentza.

Gdy ograniczy się do transformacji Lorentza, w których zmieniają się tylko trzy współrzędne przestrzenne, a nie zmienia się czas, to otrzyma się warunek, iż dopuszczalne są w ramach grupy Lorentza tylko obroty w przestrzeni – transformacje te tworzą grupę obrotów ortogonalnych ${\displaystyle O(3)}$ przestrzeni ${\displaystyle 3}$ – wymiarowej, przy czym grupa ta zwiera obroty właściwe oraz inwersje (odbicia osi układu współrzędnych – patrz niżej). Grupa ${\displaystyle O(3)}$ jest podgrupę grupy transformacji Lorentza. Macierz obrotów nie zmienia współrzędnej czasowej, stąd ma postać

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&g_{11}&g_{12}&g_{13}\\0&g_{21}&g_{22}&g_{23}\\0&g_{31}&g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}}.}$

Obroty bez inwersji – tzw. obroty właściwe – tworzą grupę specjalnych macierzy ortogonalnych ${\displaystyle SO(3).}$ Macierze obrotów właściwych mają wyznacznik równy ${\displaystyle +1.}$

Odbicia przestrzenne należą do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi ${\displaystyle X^{1},X^{2},X^{3}}$ układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

${\displaystyle P_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$

Wyznacznik tej transformacji wynosi ${\displaystyle -1.}$

Odwrócenie czasu należy do dyskretnych transformacji i polegają na odwróceniu osi ${\displaystyle X^{0}}$ układu współrzędnych. Macierz transformacji ma postać

${\displaystyle T_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$

Wyznacznik tej transformacji wynosi ${\displaystyle -1.}$

Uwaga: Symetria „odwrócenia czasu” jest własnością „geometryczną” czasoprzestrzeni: gdy czas potraktuje się jako jeden z wymiarów czasoprzestrzeni, to wykazuje ona ww. symetrię.

Czasoprzestrzeń jest przestrzenią pseudoeuklidesową, gdyż niezmiennicza odległość pomiędzy punktami czasoprzestrzeni dana jest nie jako suma kwadratów różnic współrzędnych, ale dana jest wzorem ${\displaystyle ds^{2}=(dx^{0})^{2}-(dx^{1})^{2}-(dx^{2})^{2}-(dx^{3})^{2}.}$

Wynika stąd na przykład, że iloczyn skalarny dwóch czterowektorów ${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} }$ oblicza się ze wzoru

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {B} =g_{\mu \nu }B^{\mu }A^{\nu },}$

Dwa 4-wektory nazywa się ortogonalnymi, jeżeli zeruje się ich iloczyn skalarny. Przekształcenie liniowe przestrzeni pseudoeuklidesowej zachowujące iloczyn skalarny nazywa się pseudoortogonalnym – jest to rozszerzenie pojęcia przekształceń ortogonalnych znanego z przestrzeni euklidesowych. Macierz ${\displaystyle \Omega }$ takiego przekształcenia jest w ogólnym przypadku macierzą pseudoortogonalną, tj. taką że

${\displaystyle \Omega \,g\,\Omega ^{T}=g,}$

gdzie ${\displaystyle g}$ – tensor metryczny czasoprzestrzeni.

Właściwe transformacje Lorentza otrzymuje się, gdy ograniczy się do transformacji mieszających czas z jedną składową przestrzenną, a pominie obroty układu w przestrzeni, inwersje oraz odwrócenie czasu. Sytuacja taka zachodzi, gdy dokonujemy transformacji do układu poruszającego się względem danego układu. Np. dla ruchu w kierunku osi ${\displaystyle x}$ macierz transformacji ma postać

${\displaystyle \Lambda _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}&0&0\\g_{01}&g_{11}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}},}$

gdzie współczynniki ${\displaystyle g_{ij}}$ są stałymi liczbami. Powyższa macierz jest macierzą przekształcenia liniowego współrzędnych czasowej i przestrzennej ${\displaystyle x^{0}=ct,x^{1}}$ na współrzędne ${\displaystyle x'{^{0}}=ct',x'{^{1}}}$ w układzie poruszającym się, przy pozostałych współrzędnych pozostawionych bez zmian

Warunek niezmienności interwału definiuje grupę obrotów hiperbolicznych ${\displaystyle O(1,1),}$ której elementy są reprezentowane za pomocą macierzy pseudoortogonalnych. Aby wykazać, że własność tę posiadają macierze właściwych transformacji Lorentza ograniczmy macierz transformacji do macierzy ${\displaystyle 2}$ x ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}},}$

przy czym pierwsza kolumna odpowiada za transformacje współrzędnej czasowej, a druga odpowiada za transformacje współrzędnej. Niezmienność interwału implikuje, że muszą zachodzić warunki

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=1,}$

${\displaystyle ab=cd,}$

${\displaystyle d^{2}-b^{2}=1.}$

Z dokładnością do znaku rozwiązanie powyższego układu równań ma postać

${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\quad \,\cosh(\phi )&-\sinh(\phi )\\-\sinh(\phi )&\quad \,\cosh(\phi )\end{pmatrix}}.}$

Łatwo to sprawdzić, wiedząc, że dla funkcji hiperbolicznych słuszna jest tożsamość

${\displaystyle \cosh ^{2}(\varphi )-\sinh ^{2}(\varphi )=1.}$

Powyższą macierz transformacji nazywa się macierzą obrotu hiperbolicznego – określa ją jeden ciągły parametr ${\displaystyle \phi ,}$ który pełni rolę kąta obrotu analogiczną do roli parametrów określających zwykły obrót w płaszczyźnie. Macierze tego typu tworzą grupę ${\displaystyle O(1,1)}$ (zaś macierze obrotu w przestrzeni tworzą grupę macierzy ortogonalnych ${\displaystyle O(2)}$).

Można łatwo sprawdzić, że powyższa macierz spełnia warunek

${\displaystyle \Lambda ^{T}\,g\,\Lambda =g,}$

a więc jest to macierz pseudoortogonalna. Nie jest to jednak macierz ortogonalna, gdyż

${\displaystyle \Lambda ^{T}\Lambda \neq I.}$

Transformację Lorentza można teraz zapisać jako

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'^{0}\\x'^{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\quad \cosh(\phi )&-\sinh(\phi )\\-\sinh(\phi )&\quad \,\cosh(\phi )\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\end{pmatrix}}.}$

Parametr ${\displaystyle \phi }$ jest związany ze współrzędną ${\displaystyle v}$ prędkości drugiego układu O′ względem układu początkowego O zależnością

${\displaystyle \operatorname {tgh} (\phi )={\frac {v}{c}}.}$

Powyższa parametryzacja jest poprawna, gdyż tangens hiperboliczny ma wartości

${\displaystyle -1<\operatorname {tgh} (\phi )<1,}$

co odpowiada warunkowi,

${\displaystyle -1<v/c<1}$

– zgodnie z tym, że prędkość jest zawsze mniejsza niż prędkość światła. Wyrażając ${\displaystyle \sinh(\phi ),\cosh(\phi )}$ przez ${\displaystyle \operatorname {tgh} (\phi )}$ otrzyma się jawną postać tej transformacji Lorentza dla ruchu układu ${\displaystyle O'}$ w kierunku osi ${\displaystyle x{:}}$

${\displaystyle x'{^{0}}=\gamma \,x^{0}-\beta \gamma \,x^{1},}$

${\displaystyle x'{^{1}}=-\beta \gamma x^{^{0}}+\gamma \,x^{1},}$

${\displaystyle x'{^{2}}=x^{2},}$

${\displaystyle x'{^{3}}=x^{3},}$

przy czym ${\displaystyle \beta =\operatorname {tgh} (\phi ),\gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}.}$

Łatwo sprawdzić, że wyznacznik powyższej transformacji wynosi ${\displaystyle +1.}$ To samo dotyczy wszystkich właściwych transformacji Lorentza.

Uwaga: Parametr ${\displaystyle \phi \in (-\infty ,+\infty ),}$ dlatego grupa Lorentza nie jest zwarta ze względu na pchnięcia Lorentza – macierze odpowiadające tym transformacjom, są symetryczne (tak jest dla obrotów hiperbolicznych – zwykłe obroty są reprezentowane przez macierze ortogonalne).

Generator związany z daną macierzą ${\displaystyle \Omega (\phi )}$ zależną od parametru ${\displaystyle \phi }$ definiuje się jako pochodną po tym parametrze, obliczoną dla ${\displaystyle \phi =0,}$

${\displaystyle G=a\,{\frac {d\Omega (\phi )}{d\phi }}{\Bigg |}_{\phi =0},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ – dowolna liczba zespolona (liczbę ${\displaystyle a}$ przyjmuje się tak, by inne wzory teorii miały wygodną postać). Generator jest macierzą. Macierz ${\displaystyle \Omega (\phi )}$ wyraża się za pomocą eksponenty generatora z odpowiednim współczynnikiem, tj.

${\displaystyle \Omega (\phi )=e^{\phi \,G/a}.}$

Dla macierzy

${\displaystyle \Omega (\phi _{1})={\begin{pmatrix}\,\,\,\cosh(\phi _{1})&-\sinh(\phi _{1})&0&0\\-\sinh(\phi _{1})&\,\,\,\cosh(\phi _{1})&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

przyjmuje się postać generatora

${\displaystyle K_{1}=-i{\frac {d\Omega }{d\phi _{1}}}{\Bigg |}_{\phi _{1}=0}}$

Ponieważ

${\displaystyle {\frac {d\sinh(\phi _{1})}{d\phi _{1}}}{\Bigg |}_{\phi _{1}=0}=\cosh(\phi _{1})|_{\phi _{1}=0}=1,}$

${\displaystyle {\frac {d\cosh(\phi _{1})}{d\phi _{1}}}{\Bigg |}_{\phi _{1}=0}=\sinh(\phi _{1})|_{\phi _{1}=0}=0,}$

to otrzymuje się

${\displaystyle K_{1}=-i{\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Wtedy

${\displaystyle \Omega (\phi _{1})=e^{i\phi _{1}K_{1}}.}$

Uwaga: Liczby zespolone w definicji generatorów przyjęto dla uproszenia innych wzorów teorii. Z powyższego przykładu widać, że np. generator ${\displaystyle K_{1}}$ mnożony przez ${\displaystyle i\phi _{1}}$ daje macierz rzeczywistą w wykładniku wzoru ${\displaystyle \Omega (\phi _{1})=e^{i\phi _{1}K_{1}}.}$ Analogicznie jest dla innych generatorów, które omówiono poniżej. Powinno tak być, gdyż macierze transformacji Lorentza są macierzami o współrzędnych rzeczywistych, a taką macierz można otrzymać jedynie z eksponenty macierzy rzeczywistej.

Grupa transformacji Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów, które omówiono poniżej.

(a) Trzy parametry ${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}}$ związane są z obrotami w przestrzeni, którym odpowiadają trzy niezależny generatory obrotów wokół osi ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{2}}$(por. grupa obrotów)

${\displaystyle T_{i},\quad i=1,2,3}$

Generatory te mają postacie:

${\displaystyle T_{1}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&\!\!\!-1&0\end{pmatrix}},\;T_{2}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&\!\!\!-1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}},\;T_{3}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&\!\!\!-1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

(b) Macierz dowolnego obrotu w przestrzeni 3D – wokół osi przechodzącej przez punkt początkowy układu współrzędnych i zadanej wektorem ${\displaystyle {\vec {\theta }}=[\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}]}$ wyraża się za pomocą tych generatorów wzorem

${\displaystyle \Lambda =e^{i{\vec {T}}{\vec {\theta }}},}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {T}}{\vec {\theta }}=T_{1}\theta _{1}+T_{2}\theta _{2}+T_{3}\theta _{3},}$

${\displaystyle {\vec {T}}=[T_{1},T_{2},T_{3}]}$ – wektor, utworzony z generatorów obrotu.

Wykładnik eksponenty jest rzeczywistą macierzą antysymetryczną (czynnik ${\displaystyle -i}$ mnożony przez czynnik ${\displaystyle i}$ występujący w generatorach ${\displaystyle T_{i}}$ daje 1) – zgodnie z ogólnym twierdzeniem generuje on macierz ortogonalną. Macierz ta jest więc faktycznie macierzą obrotu w 3-wymiarowej podprzestrzeni przestrzeni Minkowskiego.

Trzy parametry związane są z trzema generatorami właściwych transformacji Lorentza

${\displaystyle K_{i},\quad i=1,2,3.}$

odpowiadających przejściom do układów współrzędnych poruszających się względem danego układu z prędkościami skierowanymi wzdłuż osi ${\displaystyle x^{1},x^{2},x^{3}.}$

(a) Np. właściwa transformacja Lorentza wzdłuż osi ${\displaystyle x^{1}}$ ma postać

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'^{0}\\x'^{1}\\x'^{2}\\x'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\,\,\,\cosh(\phi _{1})&-\sinh(\phi _{1})&0&0\\-\sinh(\phi _{1})&\,\,\,\cosh(\phi _{1})&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{pmatrix}}.}$

Macierz tej transformacji można przedstawić w postaci

${\displaystyle \Lambda =e^{iK_{1}\phi _{1}},}$

gdzie:

${\displaystyle K_{1}=-i{\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

jest generatorem tej macierzy.

(b) Analogicznie mamy dla przejść do układów poruszających się wzdłuż osi ${\displaystyle x^{2}}$ oraz ${\displaystyle x^{3}}$

${\displaystyle K_{2}=-i{\begin{pmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}},\;K_{3}=-i{\begin{pmatrix}0&0&0&-1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

(c) Ogólną macierz transformacji Lorentza związaną z przejściem do innego układu inercjalnego, poruszającego się w kierunku wskazanym za pomocą wektora ${\displaystyle {\vec {\phi }}=[\phi _{1},\phi _{2},\phi _{3}]}$ wyraża się wzorem

${\displaystyle \Lambda =e^{i{\vec {K}}{\vec {\phi }}},}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {K}}{\vec {\phi }}=K_{1}\phi _{1}+K_{2}\phi _{2}+K_{3}\phi _{3},}$

${\displaystyle {\vec {K}}=[K_{1},K_{2},K_{3}]}$ – wektor, utworzony z generatorów pchnięć Lorentza.

Wykładnik eksponenty jest rzeczywistą macierzą symetryczną – zgodnie z ogólnym twierdzeniem generuje on macierz w ogólności pseudoortogonalną. Macierz ta jest wiec macierzą obrotu w przestrzeni Minkowskiego.

Ogólną transformację, złożoną z obrotów układu współrzędnych w przestrzeni oraz pchnięć Lorentza, definiuje wyrażenie

${\displaystyle \Lambda =e^{i{\vec {T}}{\vec {\theta }}+i{\vec {K}}{\vec {\phi }}}.}$

(a) Z sześciu generatorów grupy (trzech ${\displaystyle T_{i}}$ i trzech ${\displaystyle K_{i}}$) można zbudować antysymetryczną macierz generatorów ${\displaystyle M_{ij}}$ przyjmując:

${\displaystyle K_{i}=M_{0,i},\quad i=1,2,3}$

${\displaystyle T_{i}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k=0}^{3}\epsilon _{ijk}M^{jk},\quad i=1,2,3.}$

(b) Twierdzenie:

Generatory Lorentza ${\displaystyle M_{ij}}$ tworzą algebrę Liego grupy transformacji Lorentza o komutatorze^[3]

${\displaystyle [M^{mn},M^{rs}]=i(g^{nr}M^{ms}-g^{mr}M^{ns}-g^{ns}M^{ms}+g^{ms}M^{nr}),}$

gdzie ${\displaystyle [A,B]=AB-BA.}$

Pojęcia matematyczne

• grupa Liego
• grupa obrotów
• grupa SO(2)
• grupa SO(3)
• grupa SU(2)
• eksponenta macierzy - tam też podano program do obliczeń eksponenty macierzy w języku Python
• macierz obrotu

Pojęcia ogólne fizyki

• symetrie w fizyce

Uczeni

• Hendrik Lorentz
• Hermann Minkowski
• Henri Poincaré

• GrzegorzG. Białkowski GrzegorzG., Mechanika klasyczna, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1975, s. 50–66, 139–154 .
• T.T. Padmanabhan T.T., Quantum Field Theory: The Why, What and How, Heidelberg: Springer, 2016, s. 201–206 . link

• Jerzy Kijowski, Grupa Lorentza i jej działanie na pole elektromagnetyczne, kanał CFT PAN na YouTube, 16 marca 2020 [dostęp 2023-05-21].