Odwzorowanie kartograficzne

Odwzorowanie kartograficzne (geograficzne) – określony matematycznie sposób dwuwymiarowego i przeskalowanego przedstawiania powierzchni części lub całości kuli ziemskiej lub innego ciała niebieskiego na płaszczyźnie.

W przypadku kuli ziemskiej odwzorowanie przeprowadza się w taki sposób, aby każdemu punktowi na powierzchni kuli lub elipsoidy (będących modelami powierzchni Ziemi) jednoznacznie odpowiadał określony punkt lub zbiór punktów na płaszczyźnie. W ten sposób siatka geograficzna zostaje odwzorowana w siatkę kartograficzną, złożoną z obrazów południków i równoleżników, stanowiącą podstawowy element map. Związek matematyczny pomiędzy współrzędnymi geograficznymi (szerokością geograficzną ${\displaystyle \varphi }$ i długością geograficzną ${\displaystyle \lambda }$) punktu na powierzchni Ziemi a współrzędnymi prostokątnymi ${\displaystyle (x,\ y)}$ tego punktu na płaszczyźnie można przedstawić w postaci:

${\displaystyle x=f_{1}(\varphi ,\lambda ),}$

${\displaystyle y=f_{2}(\varphi ,\lambda ).}$

Przy różnych funkcjach ${\displaystyle f_{1}}$ i ${\displaystyle f_{2}}$ otrzymuje się odwzorowania o różnych właściwościach. Wobec nierozwijalności kuli (elipsoidy) na płaszczyznę, wierne zachowanie w odwzorowaniu równocześnie kątów, odległości i powierzchni jest niemożliwe (jest możliwe przy odwzorowaniu na sferę, globus).

Ważną klasę odwzorowań (tzw. rzuty kartograficzne) uzyskuje się przez rzutowanie geometryczne powierzchni kuli na płaszczyznę lub pomocnicze powierzchnie rozwijalne, którymi są pobocznice stożka lub walca, przy czym każda z tych 3 powierzchni może być styczna do powierzchni kuli (elipsoidy) lub przecinać ją wzdłuż pewnych linii.

Ze względu na zniekształcenia wynikające z odwzorowania, odwzorowania mogą być:

• wiernoodległościowe (równodługościowe) – zachowujące proporcje odległości od jednego lub dwóch wybranych punktów
• wiernopowierzchniowe (równopolowe) – zachowujące proporcje wszystkich pól powierzchni
• wiernokątne (równokątne) – zachowujące wszystkie kąty

Nie jest możliwe osiągnięcie więcej niż jednej z powyższych właściwości równocześnie, nie jest też możliwe wierne odwzorowanie wszystkich odległości.

Zależnie od powierzchni, na którą odwzorowuje się siatkę geograficzną, rozróżnia się odwzorowania kartograficzne:

• klasyczne – zawierają trzy podstawowe rodzaje odwzorowań kartograficznych, określonych ścisłymi regułami
  • płaszczyznowe zwane też azymutalnymi – zachowują azymuty z punktu styczności, zwane punktami głównym odwzorowania kartograficznego
  • stożkowe
  • walcowe
• umowne (pseudoklasyczne) – powstają w wyniku modyfikacji siatek klasycznych:
  • pseudopłaszczyznowe
    • siatki globuralne – przedstawiają obraz półkuli w kole
    • siatki koliste – przedstawiają obraz całej kuli w kole
    • siatki azymutoidalne – przedstawiają całą kulę ziemską w postaci elipsy lub figury do niej zbliżonej
  • pseudostożkowe
  • pseudowalcowe
  • wielościenne i inne.

Zależnie od położenia powierzchni odwzorowania w stosunku do kuli ziemskiej rozróżnia się odwzorowania kartograficzne:

• normalne (biegunowe) – gdy płaszczyzna odwzorowania jest prostopadła do osi Ziemi na biegunie, albo gdy osie stożka lub walca pokrywają się z osią kuli ziemskiej
• poprzeczne (równikowe) – gdy płaszczyzna odwzorowania jest równoległa do osi ziemskiej, albo gdy osie walca lub stożka leżą w płaszczyźnie równikowej, a więc są prostopadłe do osi obrotu Ziemi
• ukośne – gdy płaszczyzna odwzorowania, albo oś walca czy stożka zajmuje położenie pośrednie w stosunku do położeń wcześniej wymienionych, to znaczy gdy płaszczyzna lub osie odwzorowania znajduje się między biegunem a równikiem

Ze względu na położenie środka rzutu klasyfikuje się siatki:

• centralne
• stereograficzne
• ortograficzne

Ze względu na odległość powierzchni rzutu od kuli, odwzorowania mogą być:

• styczne
• sieczne
• odległe^[1]

Jedynie odwzorowanie na sferze (przykładem takiego odwzorowania jest globus) w pełni zachowuje proporcje odwzorowywanych powierzchni, odległości i kierunków (kątów). Nie da się przenieść części lub całości ziemi ze sfery na płaszczyznę bez deformacji. Niektóre odwzorowania posiadają punkt lub linię styczności z odwzorowywaną sferą. Deformacje w punkcie lub linii styczności w takich odwzorowaniach są najmniejsze i wzrastają wraz z oddalaniem się od tego miejsca.

Stosowanie odwzorowań kartograficznych o określonych właściwościach zależy od przeznaczenia mapy:

• w przypadku map nawigacyjnych i topograficznych przeznaczonych do celów wojskowych stosuje się odwzorowanie równokątne, w którym wiernie zachowane są kąty (odwzorowanie Merkatora, odwzorowanie Gaussa-Krügera);
• w przypadku map szkolnych – odwzorowanie walcowe równopowierzchniowe, w którym wiernie zachowane są powierzchnie (odwzorowanie azymutalne Lamberta, odwzorowanie Mollweidego);
• w przypadku map radiofonicznych – odwzorowanie kartograficzne wiernie zachowujące odległości z punktu głównego (odwzorowanie azymutalne równoodległościowe Postela).

Mapy świata wykonuje się zwykle w odwzorowaniach dowolnych, niezachowujących w pełni ani powierzchni, ani kątów, ani odległości (odwzorowanie Winkela, odwzorowanie Służby Topograficznej Wojska Polskiego). Teoria zniekształceń odwzorowanych N. A. Tissota (1824-1880) pozwala na ich obliczenie w dowolnym punkcie mapy i ocenę odwzorowania. W przypadku map wielkoskalowych deformacje spowodowane rzutowaniem nie grają większej roli.

• Odwzorowanie Gaussa-Krügera – rodzaj odwzorowania kartograficznego walcowego, poprzecznego, równokątnego (wiernie zachowujące kąty); stosowane do map wielkoskalowych (w Polsce od 1952) i do topograficznych map wojskowych w skali od 1:500 000.
• Odwzorowanie Merkatora – rodzaj odwzorowania kartograficznego walcowego równokątnego (wiernie zachowujące kąty); stosowane do map nawigacyjnych w różnych skalach (loksodromy odwzorowują się w odwzorowaniu Merkatora jako linie proste).
• Odwzorowanie Służby Topograficznej Wojska Polskiego – rodzaj odwzorowania kartograficznego dowolnego (nie zachowującego wiernie ani kątów, ani powierzchni) opracowane przez polskiego kartografa W. Grygorenkę.

• atlas (matematyka)
• rozmaitość

• Encyklopedia G.W. EU: Mediasat Poland Sp. z o.o., s. 354–356. ISBN 83-89651-47-5.
• Wprowadzenie do kartografii i topografii. Polska: Nowa Era, 2006, s. 81–168. ISBN 83-7409-229-7.

• Cartographic projection (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].