Торус

Торус је обртна плоха која се добија када се ротира кружница у тродимензионом простору око осе копланарне са кружницом, а која не додирује круг.

1. Ако оса ротације не додирује кружницу плоха има облик прстена и назива се прстенасти торус или само торус.
2. У случају да је оса ротације тангента кружнице добијена плоха се назива рог торус
3. када за осу ротације узмемо тетиву кружнице резултујућа плоха је вретенасти торус.

Као таква плоха торус има "рупу". Ако означимо са ц радијус од центра "рупе" до центра торуса, а са а радијус торуса долазимо до његове параметарске једначине:

${\displaystyle {\begin{cases}x=(c+acosv)cosu\\y=(c+acosv)sinu\\z=asinv\end{cases}}}$ за ${\displaystyle u,v\in [0,2\pi )}$ ^[1]

гдје су ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ углови који чине пуни круг, тако да њихове вриједности почињу и завршавају у истој тачки

${\displaystyle c}$ је удаљеност од центра цијеви до средишта торуса, ${\displaystyle a}$ је промјер цијеви. ${\displaystyle c}$ је главни радијус, а ${\displaystyle a}$ споредни радијус.

Имплицитна једначина у Картезијевим координатама је

${\displaystyle \left(c-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=a^{2},}$

Површина торуса је

${\displaystyle P=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}ca}$^[2][3]

а запремина

${\displaystyle V=\left(\pi a^{2}\right)\left(2\pi c\right)=2\pi ^{2}ca^{2}}$

${\displaystyle \ V=2\pi ^{2}Rr^{2},}$

Доказ

${\displaystyle \ S=S_{1}-S_{2},}$

${\displaystyle \ S_{1}=\pi (R+a)^{2},}$

${\displaystyle \ S_{2}=\pi (R-a)^{2}}$

Према Питагориној теореми имамо

${\displaystyle \ a={\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}$

${\displaystyle \ S_{1}=\pi (R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}}$
${\displaystyle \ S_{2}=\pi (R-{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}}$

${\displaystyle \ S=\pi (R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}-\pi (R-{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}}$

${\displaystyle \ S=\pi [(R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}-(R-{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})^{2}]}$

${\displaystyle \ S=\pi (R^{2}+2R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}+r^{2}-z^{2}-R^{2}+2R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}-r^{2}+z^{2})}$

${\displaystyle \ S=\pi (2R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}+2R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}})}$

${\displaystyle \ S=4\pi R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}$

${\displaystyle \ V=\int \limits _{-r}^{r}S(z)\,dz}$

${\displaystyle \ V=\int \limits _{-r}^{r}4\pi R{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz}$

${\displaystyle \ V=4\pi R\int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz}$

${\displaystyle \ {du \over dz}={d{\sqrt {r^{2}-z^{2}}} \over dz}}$

${\displaystyle {d{\sqrt {r^{2}-z^{2}}} \over dz}{d(r^{2}-z^{2}) \over d(r^{2}-z^{2})}}$

${\displaystyle {d{\sqrt {r^{2}-z^{2}}} \over d(r^{2}-z^{2})}{d(r^{2}-z^{2}) \over dz}}$

${\displaystyle \ {du \over dz}={1 \over 2(r^{2}-z^{2})}({dr^{2} \over dz^{2}}-{dz^{2} \over dz})={1 \over 2(r^{2}-z^{2})}(0-2z)={-2z \over 2(r^{2}-z^{2})}=-{z \over (r^{2}-z^{2})}}$

${\displaystyle \ du=-{z \over r^{2}-z^{2}}dz}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}_{-r}^{r}-\int \limits _{-r}^{r}-{z^{2} \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}_{-r}^{r}-\int \limits _{-r}^{r}{-z^{2}-r^{2}+r^{2} \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}_{-r}^{r}-\int \limits _{-r}^{r}{r^{2}-z^{2} \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz+\int \limits _{-r}^{r}{r^{2} \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}_{-r}^{r}-\int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}dz+r^{2}\int \limits _{-r}^{r}{1 \over {\sqrt {r^{2}-z^{2}}}}dz}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz+\int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}_{-r}^{r}+r^{2}\int \limits _{-r}^{r}{1 \over {\sqrt {r^{2}(1-{z^{2} \over r^{2}})}}}dz}$

${\displaystyle \ 2\int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz=z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}{\bigg |}_{-r}^{r}+r^{2}\int \limits _{-r}^{r}{1 \over {\sqrt {(1-({z \over r})^{2})}}}d({z \over r})}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={z{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}+r^{2}\arcsin({z \over r}) \over 2}{\bigg |}_{-r}^{r}}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={r{\sqrt {r^{2}-r^{2}}}+r^{2}\arcsin({r \over r}) \over 2}-{-r{\sqrt {r^{2}-(-r)^{2}}}+r^{2}\arcsin({(-r) \over r}) \over 2}}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={r^{2}\arcsin({1})-r^{2}\arcsin({-1}) \over 2}}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={r^{2} \over 2}({\pi \over 2}-(-{\pi \over 2}))}$

${\displaystyle \ \int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz={r^{2}\pi \over 2}}$

${\displaystyle \ V=4\pi R\int \limits _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\,dz\to V=4\pi R{r^{2}\pi \over 2}}$

${\displaystyle \ V=2\pi ^{2}Rr^{2},}$

Параметарска једначина прстенастог торуса је

${\displaystyle {\begin{cases}x=(c+acosv)cosu\\y=(c+acosv)sinu\\z=asinv\end{cases}}}$

за ${\displaystyle u,v\in [0,2\pi )}$ ${\displaystyle ia>c}$

Кофициенти прве квадратне форме су

${\displaystyle E=(c+acosv)^{2}}$

${\displaystyle F=0}$

${\displaystyle G=a^{2}}$

док за коефициенте друге квадратне форме добијамо

${\displaystyle L=-(c+acosv)cosv}$

${\displaystyle M=0}$

${\displaystyle N=-a}$

Гаусова и средња крива су дате са:

${\displaystyle K_{G}={\frac {cosv}{a(c+acosv)}}}$

${\displaystyle K_{S}={\frac {-c+2acosv}{2a(c+acosv)}}}$

Узимајући у једначини

${\displaystyle {\begin{cases}x=(c+acosv)cosu\\y=(c+acosv)sinu\\z=asinv\end{cases}}}$

да је ${\displaystyle c=a}$ добијамо параметарску једначину рог торуса ^[4]

${\displaystyle {\begin{cases}x=a(1+cosv)cosu\\y=a(1+cosv)sinu\\z=asinv\end{cases}}}$

За коефициенте прве квадратне форме добијамо:

${\displaystyle E=4a^{2}cos^{4}({\frac {1}{2}}v)}$

${\displaystyle F=0}$

${\displaystyle G=a^{2}}$

док су коефициенти друге квадратне форме рог торуса:

${\displaystyle L=-2acos^{2}({\frac {1}{2}})cosv}$

${\displaystyle M=0}$

${\displaystyle N=-a}$

Код вретенастог торуса параметарска једначина, формуле за коефициенте прве и друге квадратне форме и формуле за израчунавање средње и Гаусове криве су исте као и код прстенастог торуса, уз услов ${\displaystyle c<a}$.

Ротационе површи и њихова визуелизација у програмском пакету Матхематица Ниш, новембар 2013.^{[мртав линк]}

1. ↑ „параметарска једначина 06. јули 1995”. Архивирано из оригинала на датум 2019-05-20. Приступљено 2016-05-01. 
2. ↑ ринг торус
3. ↑ површина торуса
4. ↑ Хорн торус Ниш новембар 2013^{[мртав линк]}