Conwayjeva notacija poliedrov

Conwayjeva notacija poliedrov se uporablja za opis poliedrov na osnovi osnovnega poliedra, ki ga spremenimo z različnimi operacijami.

Osnovni poliedri so platonska telesa, ki jih prikažemo s prvo črko njihovega imena (T, O, C, I, D) prizme (P_n) antiprizme (A_n) ali piramide (Y_n). Vsak konveksni polieder lahko služi kot osnova, dokler lahko na njem izvajamo operacije.

Angleški matematik John Horton Conway (rojen 1937) je razširil zamisel o uporabi operatorjev kot je prisekanje, da bi izdelal sorodne poliedre z isto simetrijo. Njegovi operatorji lahko generirajo vsa arhimedska telesa in Catalanova telesa iz pravilnih osnovnih teles. Uporabljeni v skupini ti operatorji omogočajo nastanek mnogih poliedrov višjega reda.

operator	ime	alternativna konstrukcija	oglišča	robovi	stranske ploskve	opis
	osnovno telo		v	e	f	oblika osnove
r	reflekt (Hart)		v	e	f	zrcalna slika kiralnih oblik
d	dual		f	e	v	dualno telo osnovnega poliedra – vsako oglišče kreira novo stransko ploskev
a	ambo		e	2e	2+e	robovi so nova oglišča, stara oglišča izginejo. (rektificirano)
j	združen	da	e+2	2e	e	zametek je povečan s piramidami v dovolj veliki višini, tako, da imata 2 koplanarna trikotnika iz dveh različnih piramid skupen rob.
t	prisekan	dkd	2e	3e	e+2	prisekana vsa oglišča.
--	--	dk	2e	3e	e+2	dual oblike kis, (dvojna prisekanost)
--	--	kd	e+2	3e	2e	kis oblika duala
k	kis	dtd	e+2	3e	2e	dvigne piramido na vsaki stranski ploskvi.
c	ožlebljen		e+v	4e	2e+f	nove šestkotne stranske ploskve se dodajo namesto robov.
-	-	dc	2e+f	4e	e+v
e	razširjen	aa	2e	4e	2e+2	vsako oglišče ustvari novo stransko ploskev in vsak rob ustvari nov štirikotnik. (kantelirano)
o	orto	de	2e+2	4e	2e	vsaka n-kotnikova stranska ploskev se razdeli v n štirikotnike.
p	propeler (Hart)		v+2e	4e	e+f	vrtenje stranskih ploskev, ki ustvari štirikotnike na ogliščih (sebi-dualne)
-	-	dp	e+f	4e	v+2e
s	prirezanost	dg	2e	5e	3e+2	"razširi in zvij" – vsako oglišče ustvari novo stransko ploskev in vsak rob ustvari dva nova trikotnika
g	giro	ds	3e+2	5e	2e	vsaka n-kotnikova stranska ploskev se deli na n petkotnikov.
b	nagnjen	ta	4e	6e	2e+2	nove stranske ploskve se dodajo na mesta robov in oglišč omniprisekanost (znana tudi kot kantiprisekanost v višjih politopih).
m	meta	db & kj	2e+2	6e	4e	n-kotne stranske ploskve se razdelijo v 2n trikotnikov

Posebne oblike postopek kis ima variacijo kn, ki doda piramide na stranske ploskve, ki imajo n stranic operator prisekanosti ima variante tn, ki samo prisekajo oglišča z redom n.

Operatorji se izvajajo od desne proti levi. Zgled: * dual tetraedra je dT

• prisekanje kocke je t3C ali tC
• prisekanje kubooktaedra je T4aC ali taC.

Vse operacije ohranjajo simetrijo, razen zvijanja.

Kocka lahko generira vse konveksne uniformne poliedre z oktaedrsko simetrijo.

kocka "osnova" (zametek)	ambo (rektificirano)	prisekano	dvojno prisekano	razširjeno (kantelirano)	nagnjeno (omniprisekano)	prirezanost
C	aC = djC	tC = dkdC	tdC = dkC	eC = aaC = doC	bC = taC = dmC = dkjC	sC = dgC
dualni	združen		kis (razpolovljeno oglišče)	orto (razpolovljen rob)	meta (polno razpolovljeno)	giro
dC	jC = daC	kdC = dtC	kC = dtdC	oC = deC = daaC	mC = dbC = kjC	gC = dsC

Vseh pet pravilnih poliedrov se lahko generira iz prizmatičnih generatorjev z nič ali eno operacijo.

• trikotna piramida: Y3 (tetraeder je posebna piramida)
  • T = Y3
  • O = aY3 (rektificirani tetraeder)
  • C = daY3 (dual rektificiranega tetraedra)
  • I = sY3 (prirezani tetraeder)
  • D = dsY3 (dual prirezanega tetraedra)
• trikotna antiprizma: A3 (oktaeder je posebna antiprizma)
  • O = A3
  • C = dA3
• kvadratna prizma: P4 (kocka je posebna prizma)
  • C = P4
• petstrana antiprizma: A5
  • I = k5A5 (posebna giropodaljšana dipiramida)
  • D = t5dA5 (posebni prisekani trapezoeder)

Zgornje operacije omogočajo, da se polpravilni poliedri in Catalanova telesa generirajo iz pravilnih poliedrov. S kombinacijo operacij lahko dobimo še več višjih operacij. Veliko zanimivih poliedrov višjega reda zahteva sestavo novih operatorjev.

Geometrijski umetnik George William Hart (rojen 1955) je kreiral operacijo, ki jo je imenoval propeler ter še eno operacijo z imenom reflekt s katero je kreiral zrcalne slike vrtečih se oblik.

• "propeler" pomeni operacijo vrtenja, ki kreira štirikotnike na ogliščih. Ta operacija je sebi dualna: dpX = pdX.
• "reflekt" kreira zrcalno sliko osnovnega telesa. Nima pravega efekta razen, če je osnovno telo narejeno z s ali g.

Primer: Dodekaederska osnova kot sferno tlakovanje

D	tD	aD	tdD	eD	teD	sD
dD					dteD

Primer: Osnova za evklidsko šestkotno tlakovanje (H)

H	tH	aH	tdH = H	eH	teH	sH
dH	dtH	daH	dtdH = dH	deH	dteH	dsH

Primer: Prosojne osnove za tetraeder (T)

T	tT	T	tdT	eT	bT	sT
dT	dtT	jT	kT	oT	mT	gT

Primer: Osnova za hiperbolično sedemkotno tlakovanje

{7,3} "osnova"	prisekano	ambo (rektificirano)	dvojno prisekano	razširjeno (kantelirano)	bevel (omniprisekano)	prirezana oblika
dual		združeno	kis (razpolovitev oglišča)	orto (razpolovitev roba)	meta (polna razpolovitev)	giro

• 
  prisekani triakisni tetraeder
  "t6dtT"

• 
  prisekani rombski dodekaeder
  "t4daC"
• 
  tetrakisni kubooktaeder
  "k4aC"
• 
  "dk4sC"

Rombska:

• 
  rombski eneakontaeder
  "dakD"

Trikotni:

• 
  pentakisni dodekaeder
  "kD"
• 
  pentakisni ikozidodekaeder
  "k5aD"
• 
  "k6k5tI"
• 
  "kt5daD"
• 
  "kdktI"
  "dtktI"
• 
  "kdkt5daD"

Dualni trikotni:

• 
  prisekani ikozaeder
  "dkD"
• 
  prisekani rombski triakontaeder
  "t5daD"
  "cD"
• 
  "dk6k5tI"
• 
  "dkt5daD"
• 
  "tktI"
• 
  "tkt5daD"

Trikotni kiralni:

• 
  pentagonalni heksekontaeder
  "dsD"
• 
  pentakisni prirezani dodekaeder
  "k5sD"
• 
  "k5k6stI"
  "kdk5sD"

Dualni trikotni kiralni:

• 
  "sD"
• 
  "dk5sD"
• 
  "dk5k6stI"
  "tk5sD"

• uniformni poliedri

• Conwayjeva notacija za poliedre (angleško)
• Imena poliedrov (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Conway Polyhedron Notation«. MathWorld.
• Conwayjeva notacija (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Truncation«. MathWorld.
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Rectification«. MathWorld.
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cumulation«. MathWorld.
• Conwayjevi operatorji (angleško)
• Izpeljana telesa (angleško)