Gnomonisk projeksjon

Gnomonisk projeksjon er en sentralprojeksjon av en kuleflate fra kulens sentrum på et plan. Den blir benyttet i kartprojeksjoner der planet tangerer kulen. Avbildninen har den spesielle egenskap at alle storsirkler vil bli avbildet som rette linjer i planet. Da disse er geodetiske kurver på kuleflaten, vil en rett linje i planet tilsvare den korteste avstanden mellom to punkt på kuleflaten.

Forvrenging av areal, avstand og retning øker med avstanden fra tangentpunktet som utgjør sentrum av projeksjonen. Vinkler mellom linjer vil også forandres slik at avbildningen ikke er konform. Mindre enn halvparten av en sfære kan bli kartlagt ved en slik gnomonisk projeksjon. Når man betrakter stjernehimmelen, vil den opptre på denne måten med øyet som projeksjonssentrum.

Den gnomoniske projeksjonen benyttes vanligvis i dag ved fremstilling av kart. Spesielt innen seismikk og radioteknologi er de praktiske da både seismiske bølger og radiobølger følger storsirkler på jordoverflaten og vil bre seg langs rette linjer på slike kart. Under flyreiser på den nordlige halvkulen mellom Europa og Nord-Amerika vises ofte gnomiske kart hvor flyruten er en rett linje over Atlanterhavet.

Den gnomonske projeksjonen kan føres helt tilbake til gresk astronomi og konstruksjon av solur i Babylon og det gamle Egypt. Disse inneholdt en gnomon som skapte en skygge som forandret seg med Solens gang over himmelhvelvingen. Tales fra Milet og hans samtidige Anaximander undersøkte nærmere skyggen som dermed ble dannet. Den kan betraktes som en avbildning av halve himmelkulen på et plan hvor projeksjonspunktet tilsvarer gnomonen. Da Solen er så langt borte, kan dette betraktes å være i Jordklodens sentrum.^[1]

På 1800-tallet ble mange nye kartprojeksjoner tatt i bruk. Blandt disse var også sentralprojeksjoner med sentrum i Jordens midte. Matematisk hadde de dermed samme form som for solurene og ble derfor omtalt som gnomiske projeksjoner.^[2]

Når en kuleflate avbildes på et tangentplan ved en en projeksjon fra kulens sentrum, vil området på kuleflaten som er nærmest tangeringspunkt, ble avbildet med minst forvrengning. Storsirkler eller deler ev disse gir rette linjer uansett deres beliggenhet i forhold til tangeringspunktet. Hver storsirkel gjennom tangeringspunktet avbildes som en rett linje gjennom dette punktet på kartet.

Hvis man for eksempel vil lage et kart over Arktis med sentrum i nordpolen, vil kartplanet tangere jordkloden i dette punktet. De forskjellige meridianene med konstant lengdegrad vil da opptre som rette linjer som stråler ut fra dette punktet. Sirkler med konstant breddegrad vil bli avbildet som sirkler om nordpolen som sentrum.

Et punkt på den nordlige halvkule med breddegrad β har en avstand d = Rθ fra nordpolen der R er Jordens radius og θ = 90° - β. På kartet i denne projeksjonen vil det ligge på en sirkel med radius r = R tanθ eller

${\displaystyle r(d)=R\tan(d/R)}$

Punkter langs ekvator blir derfor liggende på en sirkel med uendelig stor radius. Et punkt med geografisk lengde λ vil nå få de kartesiske koordinatene x = R tanθ⋅sinλ og y = - R tanθ⋅cosλ på kartet.

Hvis tangeringspunket til kartet ikke ligger ved en av polene, vil sammenhengen mellom de geografiske koordinatene (β,λ) og kartkoordinatene (x,y) bli mer komsplisert. Men da både meridianer og ekvator som er storsirkler, vil disse opptre som rette linjer.

Generelt kan man si at hvis tangentpunktet ikke er på en pol eller ekvator, så vil meridianene være radielle rette linjer fra polen, men ikke være like langt fra hverandre. Ekvator er også en rett linje som da er vinkelrett med bare én meridian. Dette viser at den gnomiske projeksjonen ikke er konform.

I det spesille tilfellet at tangentpunktet er på ekvator, så er meridianene parallelle med hverandre. Ekvator er også en rett linje som nå står vinkelrett på alle meridianene.

Ved fremstilling av kart tenkes Jordens overflate som en glatt sfære. Dette er en krum flate som er umulig å avbilde i sin helhet på et plan. Den har en sfærisk geometri. Men for tilstrekkelig små områder lar det seg gjøre, noe som tilsvarer at man da tilnærmet kan beskrive dette området ved euklidsk geometri.^[3]

Avbildning av større områder vil nødvendigvis gi forvrengninger av relative avstander, vinkler og areal. Disse kan beskrives matematisk ved forandringen til den metriske tensoren som avbildningen medfører. Ved bruk av vanlige kulekoordinater (θ,φ) på sfæren, er denne tensoren ekvivalent med det kvadrerte linjeelementet

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})}$

Ved en gnomisk projeksjon på et plan som tangerer sfæren i nordpolen (θ = 0,φ = 0), vil et vilkårlig punkt på den nordlige halvkule få de kartesiske koordinatene x = r cosφ og y = r sinφ hvor igjen det er naturlig å innføre r = R tanθ. Derfor får man at

${\displaystyle \sin ^{2}\theta ={r^{2} \over R^{2}+r^{2}}}$

hvor ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$ slik at ${\displaystyle rdr=xdx+ydy}$. Derivasjon av uttrykket for ${\displaystyle \sin ^{2}\theta }$ gir nå

${\displaystyle rd\theta ={R \over R^{2}+r^{2}}(xdx+ydy)}$

Nå er også ${\displaystyle \tan \phi =y/x}$ som betyr at ${\displaystyle r^{2}d\phi =xdy-ydx.}$ Uttrykt ved disse nye koordinatene blir dermed linjeelementet på sfæren

${\displaystyle ds^{2}={R^{2} \over (R^{2}+r^{2})^{2}}\left[(R^{2}+y^{2})dx^{2}-2xy\,dxdy+(R^{2}+x^{2})dy^{2}\right]}$

Ved å innføre den euklidske vektoren r = (x,y) kan det skrives på den litt mer kompakte formen

${\displaystyle ds^{2}=R^{2}{\Big [}{d\mathbf {r} ^{2} \over R^{2}+r^{2}}-{(\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} )^{2} \over (R^{2}+r^{2})^{2}}{\Big ]}}$

Dette er generelt forskjellig fra det euklidske linjeelementet ${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {r} ^{2}}$ i planet slik at dette er ingen konform avbildning. Men i det lille området rundt nordpolen hvor ${\displaystyle r\ll R}$ er dette oppfylt slik at der er forvrengningene på kartet neglisjerbare.

Ved etableringen av Riemanns differensialgeometri for over 150 år siden benyttet Eugenio Beltrami dette linjeelementet til å finne metrikken for det hyperbolske planet ved å la R² → - R². Dette negativt krummete plan kan derfor tenkes som en kuleflate med imaginær radius og kan på denne måten beskrives med den resulterende Beltrami-Klein-metrikken.

Den gnomiske projeksjonen tilsvarer en koordinattransformasjon hvor den metriske tensoren til sfæren har fått formen

${\displaystyle g_{\mu \nu }={R^{2} \over R^{2}+r^{2}}{\Big [}\delta _{\mu \nu }-{x_{\mu }x_{\nu } \over R^{2}+r^{2}}{\Big ]}}$

der x_μ er komponentene til vektoren r = (x,y). De kontravariante komponentene g^μν av tensoren finnes fra den inverse matrisen bestående av de kovariante komponentene g_μν og er

${\displaystyle g^{\mu \nu }={\Big (}1+{r^{2} \over R^{2}}{\Big )}{\Big [}\delta ^{\mu \nu }+{x^{\mu }x^{\nu } \over R^{2}}{\Big ]}}$

De kontravariante komponentene x^μ er de samme som de kovarante x_μ da metrikken på kartet er euklidsk og gitt ved Kronecker-deltaet δ_μν.

Geodetisk linjer på kulen kan nå finnes fra den geodetiske ligningen i denne projiserte metrikken. Den inneholder Christoffel-symbolene som nå kan beregnes fra den metriske tensoren. De kan sammenfattes i formelen

${\displaystyle \Gamma _{\;\mu \nu }^{\lambda }={-1 \over R^{2}+r^{2}}{\Big (}\delta _{\mu }^{\lambda }x_{\nu }+\delta _{\nu }^{\lambda }x_{\mu }{\Big )}}$

Men det er akkurat Christoffel-symbol med denne formen som resulterer i at de geodetiske kurvene er rette linjer. Det viser at den differensielle geometrien dermed bekrefter at de tilsvarer storsirkler på sfæren. Av samme grunn vil derfor også de geodetiske kurvene for det hyperbolske planet være rette linjer i Beltrami-Klein-metrikken.^[3]

• J.P. Snyder, Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections, University of Chicago Press, Chicago (19939. ISBN 0-226-76747-7.

• E. Weisstein, Gnomonic Projection, Wolfram Mathworld
• The Gnomonic Projection